设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

admin2021-02-25 29

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

选项

答案证法1：用定义证明．将矩阵B按列分块，得B=(β₁，β₂，…，β_n)，若有一组数k₁，k₂，…，k_n，使得 k₁β₁+k₂β₂+…+k_nβ_n=0，则 [*] 由于AB=E，在等式两端左乘矩阵A得 [*] 即k₁=0，k₂=0，…，k_n=0，从而向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．证法2：由于B是m×n矩阵，所以r(B)≤n，另一方面， r(B)≥r(AB)=r(E)=n，所以r(B)=n，故B的列向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法．可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Fi84777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

考研数学二

设0＜k＜1，f(x)=kx一arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．

设f(χ)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝－f(ξ)cotξ．

证明n维向量α1,α2……αn线性无关的充要条件是

设函数，数列{xn}满足lnxn+＜1。证明xn存在，并求此极限。[img][/img]

证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。将β1，β2，β3由α1,α2,α3线性表示。

设A是n阶矩阵，证明：A=O的充要条件是AAT=O.

设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明：ξ1，ξ2线性相关；

已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．

设A=，B=U-1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

产妇郑某住院分娩，分娩过程中由于医护人员操作不正确，造成郑某大出血死亡。此后其家属进行的下列哪项行为是不恰当的

当顶棚或墙面表面局部采用多孔或泡沫状塑料时，其厚度不应大于15mm，面积不得超过该房间顶棚或墙面积的(　　)。

下列支出中，属于积累性支出的有()。

曲线y=[(x3+x-2)/(x2-1)]C1/x的渐近线条数为()。

设X1，X2，…，Xn为总体X～B(N，p)(0＜P＜1)的简单随机样本，则P的最大似然估计量=________．

将考生文件夹下HULAG文件夹中的文件HERBS．FOR复制到同一文件夹中，并命名为COMPUTER．FOR。

Individualism,independence,andself-relianceareperhapsthemostdistinctiveAmericancharacteristic.American"individualism

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

考研数学二

设0＜k＜1，f(x)=kx一arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．

设f(χ)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝－f(ξ)cotξ．

证明n维向量α1,α2……αn线性无关的充要条件是

设函数，数列{xn}满足lnxn+＜1。证明xn存在，并求此极限。[img][/img]

证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1．则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。将β1，β2，β3由α1,α2,α3线性表示。

设A是n阶矩阵，证明：A=O的充要条件是AAT=O.

设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明：ξ1，ξ2线性相关；

已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．

设A=，B=U-1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

产妇郑某住院分娩，分娩过程中由于医护人员操作不正确，造成郑某大出血死亡。此后其家属进行的下列哪项行为是不恰当的

当顶棚或墙面表面局部采用多孔或泡沫状塑料时，其厚度不应大于15mm，面积不得超过该房间顶棚或墙面积的( )。

下列支出中，属于积累性支出的有()。

曲线y=[(x3+x-2)/(x2-1)]C1/x的渐近线条数为()。

设X1，X2，…，Xn为总体X～B(N，p)(0＜P＜1)的简单随机样本，则P的最大似然估计量=________．

将考生文件夹下HULAG文件夹中的文件HERBS．FOR复制到同一文件夹中，并命名为COMPUTER．FOR。

Individualism,independence,andself-relianceareperhapsthemostdistinctiveAmericancharacteristic.American"individualism

当顶棚或墙面表面局部采用多孔或泡沫状塑料时，其厚度不应大于15mm，面积不得超过该房间顶棚或墙面积的(　　)。