设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

admin2021-02-25 26

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

选项

答案证法1：用定义证明．将矩阵B按列分块，得B=(β₁，β₂，…，β_n)，若有一组数k₁，k₂，…，k_n，使得 k₁β₁+k₂β₂+…+k_nβ_n=0，则 [*] 由于AB=E，在等式两端左乘矩阵A得 [*] 即k₁=0，k₂=0，…，k_n=0，从而向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．证法2：由于B是m×n矩阵，所以r(B)≤n，另一方面， r(B)≥r(AB)=r(E)=n，所以r(B)=n，故B的列向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法．可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明．

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考研数学二

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设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

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设0＜k＜1，f(x)=kx一arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程

设f(χ)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝－f(ξ)cotξ．

对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵Bn×m，使AB=E．

设四阶矩阵B满足，求矩阵B．

设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明：ξ1，ξ2线性相关；

设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX＝0有非零解且λ1＝2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．

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