设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

admin2021-02-25 32

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

选项

答案证法1：用定义证明．将矩阵B按列分块，得B=(β₁，β₂，…，β_n)，若有一组数k₁，k₂，…，k_n，使得 k₁β₁+k₂β₂+…+k_nβ_n=0，则 [*] 由于AB=E，在等式两端左乘矩阵A得 [*] 即k₁=0，k₂=0，…，k_n=0，从而向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．证法2：由于B是m×n矩阵，所以r(B)≤n，另一方面， r(B)≥r(AB)=r(E)=n，所以r(B)=n，故B的列向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法．可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明．

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考研数学二

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