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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1 (一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1 (一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
admin
2021-01-19
81
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
(一1,2,一1)
T
,α
2
=(0,一1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得Q
T
AQ=Λ.
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3,所以 [*] 因为Aα
1
=0,Aα
2
=0,即 Aα
1
=0α
1
,Aα
2
=0α
2
故由定义知λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,α
1
,α
2
为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量;λ
3
=3是A的一个特征值,α
3
=(1,1,1)
T
为A的属于特征值3的特征向量. 总之,A的特征值为0,0,3.属于特征值0的全体特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
不全为零),属于特征值3的全体特征向量为k
3
α
3
(k
3
≠0). (Ⅱ) 对α
1
,α
2
正交化.令ξ
1
=α
1
=(一1,2,一1)
T
ξ
2
=α
2
一[*](一1,0,1)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,α
3
单位化,得 [*] 那么Q为正交矩阵,且Q
T
AQ=Λ, 由于A只有一个重特征值λ
1
=λ
2
=0,故要求A的3个两两正交的特征向量,只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可,由于 ξ
2
= α
1
+2α
2
=(一1,2,一1)
T
+2(0,一1,1)
T
=(一1,0,1)
T
也是A的属于特征值0的特征向量,且α
1
⊥ξ
2
,故 ξ
1
=α
1
一 (一1,2,一1)
T
, ξ
2
=(一1,0,1)
T
, ξ
3
=α
3
=(1,1,1)
T
就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0,0,3),再将它们单位化,即令e
i
=[*](j=1,2,3),则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e
1
e
2
e
3
],且有Q
T
AQ=diag(0,0,3),以下具体求解同解1. 由实对称矩阵的性质,知A的属于特征值λ
1
=λ
2
=0的特征向量ξ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
与属于特征 值λ
3
=1的特征向量α
3
=(1,1,1)
T
正交,即 x
1
+x
2
+x
3
=0 求解此齐次方程,得其基础解系——即属于λ
1
=λ
2
=0的两个线性无关特征向量为 ξ
1
= (一1,1,0)
T
, ξ
2
=(1,1,一2)
T
ξ
1
与ξ
2
已经正交,故ξ
1
,ξ
2
,α
3
为A的3个两两正交的特征向量,再将它们单位化,便得所求的正交矩阵可取为 [*] 且使Q
T
AQ=diag(0,0,3).
解析
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