首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1 (一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1 (一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
admin
2021-01-19
113
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
(一1,2,一1)
T
,α
2
=(0,一1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得Q
T
AQ=Λ.
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3,所以 [*] 因为Aα
1
=0,Aα
2
=0,即 Aα
1
=0α
1
,Aα
2
=0α
2
故由定义知λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,α
1
,α
2
为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量;λ
3
=3是A的一个特征值,α
3
=(1,1,1)
T
为A的属于特征值3的特征向量. 总之,A的特征值为0,0,3.属于特征值0的全体特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
不全为零),属于特征值3的全体特征向量为k
3
α
3
(k
3
≠0). (Ⅱ) 对α
1
,α
2
正交化.令ξ
1
=α
1
=(一1,2,一1)
T
ξ
2
=α
2
一[*](一1,0,1)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,α
3
单位化,得 [*] 那么Q为正交矩阵,且Q
T
AQ=Λ, 由于A只有一个重特征值λ
1
=λ
2
=0,故要求A的3个两两正交的特征向量,只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可,由于 ξ
2
= α
1
+2α
2
=(一1,2,一1)
T
+2(0,一1,1)
T
=(一1,0,1)
T
也是A的属于特征值0的特征向量,且α
1
⊥ξ
2
,故 ξ
1
=α
1
一 (一1,2,一1)
T
, ξ
2
=(一1,0,1)
T
, ξ
3
=α
3
=(1,1,1)
T
就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0,0,3),再将它们单位化,即令e
i
=[*](j=1,2,3),则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e
1
e
2
e
3
],且有Q
T
AQ=diag(0,0,3),以下具体求解同解1. 由实对称矩阵的性质,知A的属于特征值λ
1
=λ
2
=0的特征向量ξ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
与属于特征 值λ
3
=1的特征向量α
3
=(1,1,1)
T
正交,即 x
1
+x
2
+x
3
=0 求解此齐次方程,得其基础解系——即属于λ
1
=λ
2
=0的两个线性无关特征向量为 ξ
1
= (一1,1,0)
T
, ξ
2
=(1,1,一2)
T
ξ
1
与ξ
2
已经正交,故ξ
1
,ξ
2
,α
3
为A的3个两两正交的特征向量,再将它们单位化,便得所求的正交矩阵可取为 [*] 且使Q
T
AQ=diag(0,0,3).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Fu84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(x)连续,且=2,则下列结论正确的是().
假设曲线ι1:y=1-x2(0≤x≤1)与x轴,y轴所围成区域被曲线ι2:y=ax2分为面积相等的两部分,其中a是大于零的常数,试确定a的值.
设f(x,y)连续,且,x=1,y=2所围区域,则f(x,y)=_________.
设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是__________。
D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域,则=_________。
已知平面上三条直线的方程为l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0.l3:cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
设曲线y=ax2(a≥0,常数a>0)与曲线y=1一x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D.求a的值,使V(a)为最大.
设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:(1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数.(2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
[2005年]曲线y=(1+x)3/2/√x的斜渐近线方程为__________.
(05年)设y=(1+sinx)x,则dy|x=π=_____.
随机试题
根据十九大精神,全面从严治党需要把()摆在首位。
下列有关报价先后的说法中,正确的有()
计算机系统的硬件主要包括运算器、_______、存储器、输入设备、输出设备五大部分组成。
数字化彩超的关键技术是
船舶碰撞,是由于()的原因造成的,碰撞各方相互不负赔偿责任。
根据下列经济业务编制会计分录资料:某企业2009年10月份发生下列经济业务:1.10月1日,企业从银行借入期限为6个月的借款500000元,存入银行。2.10月2日,总经理出差归来报销差旅费4500元,交回多余现金500元。3.10月5日,以银
陆先生在人身保险合同中指定了数人作为自己的受益人,后陆先生突然病故,在其去世前未确定受益人的受益顺序和受益份额,那么其受益人应按照( )享有受益权。
国务院某部委出台一部行政规章,规定对某种行政违法行为不仅要处罚该单位,还要给予直接责任人罚款的处罚。但有关规定这一违法行为处罚的行政法规并没有规定对直接责任人给予行政处罚。以下表述错误的有()。
下列说法正确的是()。
已知二叉树后序遍历序列是CDABE,中序遍历序列是CADEB,它的前序遍历序列是()。
最新回复
(
0
)