2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1 (一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1 (一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．

admin2021-01-19  109
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1 (一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．
选项
答案(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 因为Aα1=0，Aα2=0，即 Aα1=0α1，Aα2=0α2 故由定义知λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量；λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T为A的属于特征值3的特征向量． 总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k3α3(k3≠0)． (Ⅱ) 对α1，α2正交化．令ξ1=α1=(一1，2，一1)T ξ2=α2一[*](一1，0，1)T 再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得 [*] 那么Q为正交矩阵，且QTAQ=Λ， 由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，故要求A的3个两两正交的特征向量，只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可，由于 ξ2= α1+2α2=(一1，2，一1)T+2(0，一1，1)T=(一1，0，1)T 也是A的属于特征值0的特征向量，且α1⊥ξ2，故 ξ1=α1一 (一1，2，一1)T， ξ2=(一1，0，1)T， ξ3=α3=(1，1，1)T 就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0，0，3)，再将它们单位化，即令ei=[*](j=1，2，3)，则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e1 e2 e3]，且有QTAQ=diag(0，0，3)，以下具体求解同解1． 由实对称矩阵的性质，知A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量ξ=(x1，x2，x3)T与属于特征 值λ3=1的特征向量α3=(1，1，1)T正交，即 x1+x2+x3=0 求解此齐次方程，得其基础解系——即属于λ1=λ2=0的两个线性无关特征向量为 ξ1= (一1，1，0)T， ξ2=(1，1，一2)T ξ1与ξ2已经正交，故ξ1，ξ2，α3为A的3个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为 [*] 且使QTAQ=diag(0，0，3)．
解析
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考研数学二

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