设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2018-08-03 21

问题设矩阵A=

的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

选项

答案A的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)． (1)若λ=2是f(λ)的二重根，则有(λ²一8a+18+3a)｜ _λ=2=2²—16+18+3a=3a+6=0，解得a=一2．当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E—A=[*]的秩为1，故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化． (2)若λ=2不是f(λ)的二重根，则λ²一8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16．解得a=[*]．当a=一[*]时，A的特征值为2，4，4，矩阵 [*] 的秩为2，故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个，从而A不可相似对角化．

解析

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