设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.

admin2018-08-03  25

问题 设矩阵A=的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.

选项

答案A的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ2一8λ+18+3a). (1)若λ=2是f(λ)的二重根,则有(λ2一8a+18+3a)| λ=2=22—16+18+3a=3a+6=0,解得a=一2. 当a=一2时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E—A=[*]的秩为1,故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个,从而A可相似对角化. (2)若λ=2不是f(λ)的二重根,则λ2一8λ+18+3a为完全平方,从而18+3a=16.解得a=[*]. 当a=一[*]时,A的特征值为2,4,4,矩阵 [*] 的秩为2,故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.

解析
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