2. 考研
  3. 二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。

二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。

admin2019-03-12  52
问题 二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。
选项
答案[一2，2]
解析 方法一：由配方法可知，
    f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3
    =(x1+x3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32，
由已知二次型的负惯性指数为1，故4一a2≥0，所以a的取值范围是[一2，2]。
    方法二：二次型的矩阵为A=。由题意可知A的特征值中有且仅有一个为负数。又由于tr(A)=0，矩阵A的惯性指数有两种可能：正惯性指数为1、负惯性指数为1；正惯性指数为2，负惯性指数为1。出现这两种情况之一的充要条件是｜A｜≤0。｜A｜=a2一4，可知a∈[一2，2]。
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考研数学三

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