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二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。
二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。
admin
2019-03-12
67
问题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。
选项
答案
[一2，2]
解析
方法一：由配方法可知，
f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+x
3
)
2
一(x
2
—2x
3
)
2
+(4一a
2
)x
3
2
，
由已知二次型的负惯性指数为1，故4一a
2
≥0，所以a的取值范围是[一2，2]。
方法二：二次型的矩阵为A=
。由题意可知A的特征值中有且仅有一个为负数。又由于tr(A)=0，矩阵A的惯性指数有两种可能：正惯性指数为1、负惯性指数为1；正惯性指数为2，负惯性指数为1。出现这两种情况之一的充要条件是｜A｜≤0。｜A｜=a
2
一4，可知a∈[一2，2]。
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考研数学三
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