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已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系.则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )
已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系.则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )
admin
2014-04-23
81
问题
已知ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
(r≥3)是Ax=0的基础解系.则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )
选项
A、α
1
=一ξ
2
一ξ
3
一…一ξ
r
,α
2
=ξ
1
一ξ
3
一ξ
4
一…一ξ
r
,α
3
=ξ
1
+ξ
2
一ξ
4
一…一ξ
r
,…,α
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
r-1
.
B、β
1
=一ξ
2
+ξ
3
+…+ξ
r
,β2=ξ
1
+ξ
3
+ξ
4
+…+ξ
r
,β
3
=ξ
1
+ξ
2
+ξ
4
+…+ξ
r
,…,β
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
r-1
.
C、ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
的一个等价向量组.
D、ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
的一个等秩向量组.
答案
B
解析
β
1
=ξ
2
+ξ
3
+…+ξ
r
.β
2
=ξ
1
+ξ
3
+…+ξ
r
.β
3
=ξ
1
+ξ
2
+ξ
4
+…+ξ
r
,β
r
=ξ
1
+ξ
2
+…+}ξ
r-1
是Ax=0的基础解系.因①由解的性质知,Aβ
i
=A(ξ
1
+ξ
2
+…+ξ
i-1
+ξ
i+1
+…+ξ
r
)=0,故β
i
均是Ax=0的解向量.
②向量个数为r=n一r(A),与原基础解系向量个数一样多.
③因
由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
线性无关及r≥3,有
故β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关,则是Ax=0的基础解系,故应选B.另外对A,当r=3时,α
1
=一ξ
2
一ξ
3
,α
2
=ξ
1
一ξ
3
,α
3
=ξ
1
+ξ
2
.因α
1
一α
1
+α
3
=一ξ
2
一ξ
3
一(ξ
1
一ξ
3
)+ξ
1
+ξ
2
=0,α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故A中α
1
,α
2
,…,α
r
,不是Ax=0的基础解系.对C,与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
等价的向量组,向量组个数可以超过r个(即与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,等价的向量组可能线性相关).对D,与ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
等秩向量组可能不是Ax=0的解向量,且个数也可以超过r,故A,C.D均不成寺.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GA54777K
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考研数学一
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