已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系.则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

admin2014-04-23  41

问题 已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系.则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是    (    )

选项 A、α1=一ξ2一ξ3一…一ξr,α21一ξ3一ξ4一…一ξr,α312一ξ4一…一ξr,…,αr12+…+ξr-1
B、β1=一ξ23+…+ξr,β2=ξ134+…+ξr,β3124+…+ξr,…,βr12+…+ξr-1
C、ξ1,ξ2,…,ξr的一个等价向量组.
D、ξ1,ξ2,…,ξr的一个等秩向量组.

答案B

解析 β123+…+ξr.β213+…+ξr.β3124+…+ξrr12+…+}ξr-1是Ax=0的基础解系.因①由解的性质知,Aβi=A(ξ12+…+ξi-1i+1+…+ξr)=0,故βi均是Ax=0的解向量.
②向量个数为r=n一r(A),与原基础解系向量个数一样多.
③因

由ξ1,ξ2,…,ξr线性无关及r≥3,有

故β1,β2,…,βr线性无关,则是Ax=0的基础解系,故应选B.另外对A,当r=3时,α1=一ξ2一ξ3,α21一ξ3,α312.因α1一α13=一ξ2一ξ3一(ξ1一ξ3)+ξ12=0,α1,α2,α3线性相关,故A中α1,α2,…,αr,不是Ax=0的基础解系.对C,与ξ1,ξ2,…,ξr等价的向量组,向量组个数可以超过r个(即与ξ1,ξ2,…,ξr,等价的向量组可能线性相关).对D,与ξ1,ξ2,…,ξr等秩向量组可能不是Ax=0的解向量,且个数也可以超过r,故A,C.D均不成寺.
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