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  3. 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系．则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系．则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

admin2014-04-23  39
问题 已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系．则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是    (    )
选项 A、α1=一ξ2一ξ3一…一ξr，α2=ξ1一ξ3一ξ4一…一ξr，α3=ξ1+ξ2一ξ4一…一ξr，…，αr=ξ1+ξ2+…+ξr-1．
B、β1=一ξ2+ξ3+…+ξr，β2=ξ1+ξ3+ξ4+…+ξr，β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr，…，βr=ξ1+ξ2+…+ξr-1．
C、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等价向量组．
D、ξ1，ξ2，…，ξr的一个等秩向量组．
答案B
解析 β1=ξ2+ξ3+…+ξr．β2=ξ1+ξ3+…+ξr．β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr,βr=ξ1+ξ2+…+}ξr-1是Ax=0的基础解系．因①由解的性质知，Aβi=A(ξ1+ξ2+…+ξi-1+ξi+1+…+ξr)=0，故βi均是Ax=0的解向量．
②向量个数为r=n一r(A)，与原基础解系向量个数一样多．
③因

由ξ1，ξ2，…，ξr线性无关及r≥3，有

故β1，β2，…，βr线性无关，则是Ax=0的基础解系，故应选B．另外对A，当r=3时，α1=一ξ2一ξ3，α2=ξ1一ξ3，α3=ξ1+ξ2．因α1一α1+α3=一ξ2一ξ3一(ξ1一ξ3)+ξ1+ξ2=0，α1，α2，α3线性相关，故A中α1，α2，…，αr，不是Ax=0的基础解系．对C，与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组，向量组个数可以超过r个(即与ξ1，ξ2，…，ξr，等价的向量组可能线性相关)．对D，与ξ1，ξ2，…，ξr等秩向量组可能不是Ax=0的解向量，且个数也可以超过r，故A，C．D均不成寺．
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考研数学一

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