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设f(x)在(a,b)可导,且求证:存在ξ∈(a,b)使得 f’(ξ)=0.
设f(x)在(a,b)可导,且求证:存在ξ∈(a,b)使得 f’(ξ)=0.
admin
2019-02-20
45
问题
设f(x)在(a,b)可导,且
求证:存在ξ∈(a,b)使得
f’(ξ)=0.
选项
答案
【证法一】 设[*]则g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g(a)=g(b),把罗尔定理用于g(x)即知存在ξ∈(a,b)使得 g’(ξ)=f’(ξ)=0. 【证法二】 若f(x)≡A([*]x∈(a,b)),结论显然成立.否则,必[*]x
0
∈(a,b)使得f(x
0
)≠A.不妨设f(x
0
)<A,由极限的不等式性质知,[*]δ>0使得a+δ<b-δ且当x∈(a,a+δ]或x∈[b-δ,b)时都有f(x)>f(x),于是f(x
0
)在[a+δ,b-δ]有最小值,且必在(a+δ,b-δ)内某点ξ取到.由费马定理知f’(ξ)=0.对f(x
0
)>A的情形可类似证明.
解析
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0
考研数学三
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