2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)可导，且求证：存在ξ∈(a，b)使得 f’(ξ)=0．

设f(x)在(a，b)可导，且求证：存在ξ∈(a，b)使得 f’(ξ)=0．

admin2019-02-20  56
问题 设f(x)在(a，b)可导，且求证：存在ξ∈(a，b)使得
            f’(ξ)=0．
选项
答案【证法一】 设[*]则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于g(x)即知存在ξ∈(a，b)使得 g’(ξ)=f’(ξ)=0． 【证法二】 若f(x)≡A([*]x∈(a，b))，结论显然成立．否则，必[*]x0∈(a，b)使得f(x0)≠A．不妨设f(x0)＜A，由极限的不等式性质知，[*]δ＞0使得a+δ＜b－δ且当x∈(a，a+δ]或x∈[b－δ，b)时都有f(x)＞f(x)，于是f(x0)在[a+δ，b－δ]有最小值，且必在(a+δ，b－δ)内某点ξ取到．由费马定理知f’(ξ)=0．对f(x0)＞A的情形可类似证明．
解析
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考研数学三

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