设证明当k＞2时，Ak0的充分必要条件为A2=0．

admin2021-07-27 43

问题设

证明当k＞2时，A^k0的充分必要条件为A²=0．

选项

答案先看充分性．A²=O，A^k=O，k＞2，显然成立；再看必要性．方法一 A^k=O，｜A｜=ad-bc=0，A²=(a+d)A，于是A^k=(a+d)^k-1A=0。故A=O或a+d=0，从而有A²=(a+d)A=O．方法二因A是2阶矩阵，｜A｜=0，故r(A)≤1．若r(A)=0，则A=O，从而A²=O；若r(A)=1，则A=αβ^T，A²=αβ^Tαβ^T=(β^Tα)A，其中α，β为非零2维列向量，于是A^k=(β^Tα)^k-1A=O，β^Tα=0，从而有A²=O得证。

解析

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