2. 考研
  3. 设 证明当k＞2时，Ak0的充分必要条件为A2=0．

设 证明当k＞2时，Ak0的充分必要条件为A2=0．

admin2021-07-27  27
问题 设
证明当k＞2时，Ak0的充分必要条件为A2=0．
选项
答案先看充分性．A2=O，Ak=O，k＞2，显然成立；再看必要性． 方法一 Ak=O，｜A｜=ad-bc=0，A2=(a+d)A，于是Ak=(a+d)k-1A=0。故A=O或a+d=0，从而有A2=(a+d)A=O． 方法二 因A是2阶矩阵，｜A｜=0，故r(A)≤1．若r(A)=0，则A=O，从而A2=O；若r(A)=1，则A=αβT，A2=αβTαβT=(βTα)A，其中α，β为非零2维列向量，于是Ak=(βTα)k-1A=O，βTα=0，从而有A2=O得证。
解析
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考研数学二

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