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考研
设 证明当k>2时,Ak0的充分必要条件为A2=0.
设 证明当k>2时,Ak0的充分必要条件为A2=0.
admin
2021-07-27
45
问题
设
证明当k>2时,A
k
0的充分必要条件为A
2
=0.
选项
答案
先看充分性.A
2
=O,A
k
=O,k>2,显然成立;再看必要性. 方法一 A
k
=O,|A|=ad-bc=0,A
2
=(a+d)A,于是A
k
=(a+d)
k-1
A=0。故A=O或a+d=0,从而有A
2
=(a+d)A=O. 方法二 因A是2阶矩阵,|A|=0,故r(A)≤1.若r(A)=0,则A=O,从而A
2
=O;若r(A)=1,则A=αβ
T
,A
2
=αβ
T
αβ
T
=(β
T
α)A,其中α,β为非零2维列向量,于是A
k
=(β
T
α)
k-1
A=O,β
T
α=0,从而有A
2
=O得证。
解析
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考研数学二
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