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已知二次型xTAx=x12—5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,那么经正交变换后二次型的标准形是________。
已知二次型xTAx=x12—5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的秩为2,(2,1,2)T是A的特征向量,那么经正交变换后二次型的标准形是________。
admin
2019-03-23
45
问题
已知二次型x
T
Ax=x
1
2
—5x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
2
x
3
+2x
1
x
3
的秩为2,(2,1,2)
T
是A的特征向量,那么经正交变换后二次型的标准形是________。
选项
答案
3y
1
2
—6y
3
2
解析
求二次型x
T
Ax在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵A的特征值。由于
且(2,1,2)
T
是A的特征向量,则有
解得a=b=2,λ
1
=3。
由秩为2知,|A|=0,于是λ
2
=0是A的另一个特征值,再由
,有1+(—5)+1=3+0+λ
3
,则λ
3
= —6是A的另外一个特征值。于是可得,正交变换下二次型的标准形是3y
1
2
—6y
3
2
。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GHV4777K
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考研数学二
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