证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．

admin2020-09-25 118

问题证明n阶实对称阵A是正交阵

对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．

选项

答案必要性[*]：‖Aα‖²=(Aα，Aα)=(Aα)^TAα=α^TA^TAα=α^Tα=‖α‖²，因此‖Aα‖=‖α‖．充分性[*]：因为‖Aα‖=‖α‖对任一向量α都成立．我们取α=e_i+e_j，其中e_i是第i个元素为1其他都是0的n维列向量．则‖e_i+e_j‖²=‖A(e_i+e_j)‖²=(A(e_i+e_j))^TA(e_i+e_j) =(Ae_i)^TAe_i+(Ae_j)^TAe_j+2(Ae_i)^T(Ae_j) =‖Ae_i‖²+‖Ae_j‖²+2(Ae_i)^T(Ae_j) =‖e_i‖²+‖e_j‖²+2(Ae_i)^TAe_j，又因为‖e_i+e_j‖²=‖e_i‖²+‖e_j‖²+2e_i^Te_j，因此(Ae_i)^TAe_j=e_i^Te_j．设A=(α₁，α₂，…，α_n)，则α_i^Tα_j=(Ae_i)^TAe_j=e_i^Te_j=[*] 因此A的列向量组成一组标准正交基，因此A为正交阵．

解析

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考研数学三

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证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．

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