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证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α,均有‖Aα‖=‖α‖.
证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α,均有‖Aα‖=‖α‖.
admin
2020-09-25
76
问题
证明n阶实对称阵A是正交阵
对任一n维列向量α,均有‖Aα‖=‖α‖.
选项
答案
必要性[*]:‖Aα‖
2
=(Aα,Aα)=(Aα)
T
Aα=α
T
A
T
Aα=α
T
α=‖α‖
2
,因此‖Aα‖=‖α‖. 充分性[*]:因为‖Aα‖=‖α‖对任一向量α都成立.我们取α=e
i
+e
j
,其中e
i
是第i个元素为1其他都是0的n维列向量. 则‖e
i
+e
j
‖
2
=‖A(e
i
+e
j
)‖
2
=(A(e
i
+e
j
))
T
A(e
i
+e
j
) =(Ae
i
)
T
Ae
i
+(Ae
j
)
T
Ae
j
+2(Ae
i
)
T
(Ae
j
) =‖Ae
i
‖
2
+‖Ae
j
‖
2
+2(Ae
i
)
T
(Ae
j
) =‖e
i
‖
2
+‖e
j
‖
2
+2(Ae
i
)
T
Ae
j
, 又因为‖e
i
+e
j
‖
2
=‖e
i
‖
2
+‖e
j
‖
2
+2e
i
T
e
j
,因此(Ae
i
)
T
Ae
j
=e
i
T
e
j
. 设A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),则α
i
T
α
j
=(Ae
i
)
T
Ae
j
=e
i
T
e
j
=[*] 因此A的列向量组成一组标准正交基,因此A为正交阵.
解析
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