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设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv。求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv。求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2018-12-19
60
问题
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f’
u
(u,v)+f’
v
(u,v)=uv。求y(x)=e
—2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
由y(x)=e
—2x
f(x,x),两边对x求导有 y’=一2e
—2x
f(x,x)+e
—2x
f’
1
(x,x)+e
—2x
f’
2
(x,x) =一2e
—2x
f(x,x)+e
—2x
[f’
1
(x,x)+f’
2
(x,x)] =一2y+e
—2x
[f’
1
(x,x)+f’
2
(x,x)]。 已知f’
u
(u,v)+f’
v
(u,v)=uv,即f’
1
(u,v)+f’
2
(u,v)=uv,则f’
1
(x,x)+f’
2
(x,x)=x
2
。因此,y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x
2
e
—2x
。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e
∫2dx
(∫x
2
e
—2x
e
∫2dx
dx+C)=e
—2x
(∫x
2
dx+C)=e
—2x
[*](C为任意常数)。
解析
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