设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv。求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

admin2018-12-19  37

问题 设f(u,v)具有连续偏导数,且满足f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv。求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

选项

答案由y(x)=e—2xf(x,x),两边对x求导有 y’=一2e—2xf(x,x)+e—2xf’1(x,x)+e—2xf’2(x,x) =一2e—2xf(x,x)+e—2x[f’1(x,x)+f’2(x,x)] =一2y+e—2x[f’1(x,x)+f’2(x,x)]。 已知f’u(u,v)+f’v(u,v)=uv,即f’1(u,v)+f’2(u,v)=uv,则f’1(x,x)+f’2(x,x)=x2。因此,y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e—2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e∫2dx(∫x2e—2xe∫2dxdx+C)=e—2x(∫x2dx+C)=e—2x[*](C为任意常数)。

解析
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