设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2018-12-19 39

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’_u(u，v)+f’_v(u，v)=uv。求y(x)=e^—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^—2xf(x，x)，两边对x求导有 y’=一2e^—2xf(x，x)+e^—2xf’₁(x，x)+e^—2xf’₂(x，x) =一2e^—2xf(x，x)+e^—2x[f’₁(x，x)+f’₂(x，x)] =一2y+e^—2x[f’₁(x，x)+f’₂(x，x)]。已知f’_u(u，v)+f’_v(u，v)=uv，即f’₁(u，v)+f’₂(u，v)=uv，则f’₁(x，x)+f’₂(x，x)=x²。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x²e^—2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e^∫2dx(∫x²e^—2xe^∫2dxdx+C)=e^—2x(∫x²dx+C)=e^—2x[*](C为任意常数)。

解析

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考研数学二

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