2. 考研
  3. 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2018-12-19  48
问题 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案由y(x)=e—2xf(x，x)，两边对x求导有 y’=一2e—2xf(x，x)+e—2xf’1(x，x)+e—2xf’2(x，x) =一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)] =一2y+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]。 已知f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv，即f’1(u，v)+f’2(u，v)=uv，则f’1(x，x)+f’2(x，x)=x2。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e—2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e∫2dx(∫x2e—2xe∫2dxdx+C)=e—2x(∫x2dx+C)=e—2x[*](C为任意常数)。
解析
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考研数学二

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