设α1，…，αm为m＋1个n维向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β－α1，…，β－αm线性无关．

admin2017-12-31 57

问题设α₁，…，α_m为m＋1个n维向量，β＝α₁＋…＋α_m(m＞1)．证明：若α₁，…，α_m线性无关，则β－α₁，…，β－α_m线性无关．

选项

答案令k₁(β－α₁)＋…＋k_m(β－α_m)＝0，即 k₁(α₂＋α₃＋…＋α_m)＋…＋k_m(α₁＋α₂＋…＋α_m－1)＝0或 (k₂＋k₃＋…＋k_m)α₁＋(k₁＋k₃＋…＋k_m)α₂＋…＋ (k₁＋k₂＋…＋k_m－1)α_m＝0，因为α₁，…，α_m线性无关，所以[*] 因为[*]＝(－1)^m－1(m－1)≠0，所以k₁＝…＝k_m＝0，故β－α₁，…，β－α_m线性无关．

解析

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