设f(x)连续，且，已知f(2)＝1。求积分∫21(x)dx的值。

admin2020-02-27 29

问题设f(x)连续，且

，已知f(2)＝1。求积分∫²₁(x)dx的值。

选项

答案令u＝x＋t，则t＝u－x，dt＝du，根据换元积分法， ∫^x₀(x＋t)dt＝∫^2x_x(u－x)f(u)du ＝∫^2x_xuf(u)du－x∫^2x_x(u)du ＝[*] 在等式∫^2x_xuf(u)du－x∫^2x_xf(u)du＝[*]两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2－xf(x)－∫^2x_xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]＝[*]，移项合并得 ∫^2x_xf(u)du＝2xf(2x)＋[*]。在上式中，令x＝1，结合f(2)＝1，可得 ∫²₁f(u)du＝2×1＋(2＋2)＝6。

解析本题考查换元法化简积分，其中涉及变限积分求导。首先容易观察到令u＝x＋t时，则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积分，将其变形为关于x的函数∫^2x_x(t)dt的表达式，令x＝1，即可得出最终积分。

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考研数学三

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