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设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+∫0xf(t)dt=0,求 ∫[f"(x)一f’(x)]e—xdx.
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+∫0xf(t)dt=0,求 ∫[f"(x)一f’(x)]e—xdx.
admin
2017-07-26
39
问题
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+
∫
0
x
f(t)dt=0,求
∫[f"(x)一f’(x)]e
—x
dx.
选项
答案
由题设知,f’(x)一f(x)+[*]∫
0
x
f(t)dt=0,并且f’(0)=f(0)=1.于是,有 (1+x)f’(x)一(1+x)f(x)+∫
0
x
f(t)dt=0. 两边对x求导得 f’(x)+(1+x)f"(x)一f(x)一(1+x)f’(x)+f(x)=0. 即(1+x)f"(x)一xf’(x)=0. 令f’(x)=p,则有(1+x)p’一xp=0. [*] ln|p|=x—ln(1+x)+ln|c|, [*] 由f’(0)=1,得c=1.代入上式得,p=f’(x)=[*].故 ∫[f"(x)一f’(x)]e
—x
dx=∫f"(x)e
—x
dx一∫f’(x)e
—x
dx =f’(x)e
—x
+∫f’(x)e
—x
dx—∫f’(x)e
—x
dx =f’(x)e
—x
+c=[*]+c.
解析
∫[f"(x)一f’(x)]e
—x
dx=∫f(x)e
—x
dx—∫f’(x)e
—x
dx
=f’(x)e
—x
+∫f’(x)e
—x
dx—∫f’(x)e
—x
dx
=f’(x)e
—x
+c.
计算该积分的关键是求f’(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GwH4777K
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考研数学三
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