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设f(x)在[0,+∞)上有二阶导数,且f"(x)<0,f’(0)=0,则下列结论正确的是( ) ①当0<t<1时,∫0tf(x)dx>∫01tf(x)dx ②当0<t<1时,∫0tf(x)dx<∫01tf(x)dx ③当t>1时,∫0t
设f(x)在[0,+∞)上有二阶导数,且f"(x)<0,f’(0)=0,则下列结论正确的是( ) ①当0<t<1时,∫0tf(x)dx>∫01tf(x)dx ②当0<t<1时,∫0tf(x)dx<∫01tf(x)dx ③当t>1时,∫0t
admin
2021-12-14
49
问题
设f(x)在[0,+∞)上有二阶导数,且f"(x)<0,f’(0)=0,则下列结论正确的是( )
①当0<t<1时,∫
0
t
f(x)dx>∫
0
1
tf(x)dx
②当0<t<1时,∫
0
t
f(x)dx<∫
0
1
tf(x)dx
③当t>1时,∫
0
t
f(x)dx>∫
0
1
tf(x)dx
④当t>1时,∫
0
t
f(x)dx<∫
0
1
tf(x)dx
选项
A、①②
B、②③
C、①④
D、②④
答案
C
解析
由f"(x)<0,可知f’(x)单调减少,故f’(x)<f’(0)=0(x>0),令F(t)=∫
0
t
f(x)dx-∫
0
1
tf(x)dx,则当0<t<1时,F(t)=∫
0
t
f(x)dx-t[∫
0
t
f(x)dx+∫
t
1
f(x)dx]=∫
0
t
(1-t)f(x)dx-t∫
t
1
f(x)dx,故由积分中值定理,可知存在ξ
1
∈(0,t),ξ
2
∈(t,1),使得∫
0
t
(1-t)f(x)dx=t(1-t)f(ξ
1
),∫
t
1
f(x)dx=(1-t)f(ξ
2
),故F(t)=t(1-t)f(ξ
1
)-t(1-t)f(ξ
2
)=t(1-t)[f(ξ
1
)-f(ξ
2
)],由f(x)单调减少,可知f(ξ
1
)>f(ξ
2
),故F(t)>0,所以①正确。当t>1时,同理,利用积分中值定理,有F(t)=∫
0
t
f(x)dx-∫
0
1
tf(x)dx=∫
0
1
f(x)dx+∫
1
t
f(x)dx-∫
0
1
tf(x)dx=∫
0
1
(1-t)f(x)dx+∫
0
t
f(x)dx=(1-t)f(ξ
1
)+(t-1)f(ξ
2
)=(1-t)[f(ξ
1
)-f(ξ
2
)](0<ξ
1
<1,1<ξ
2
<t),故F(t)<0,所以④正确,综上所述,C正确。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Gzf4777K
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