2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上有二阶导数，且f"(x)＜0，f’(0)=0，则下列结论正确的是( ) ①当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＞∫01tf(x)dx ②当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＜∫01tf(x)dx ③当t＞1时，∫0t

设f(x)在[0，+∞)上有二阶导数，且f"(x)＜0，f’(0)=0，则下列结论正确的是( ) ①当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＞∫01tf(x)dx ②当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＜∫01tf(x)dx ③当t＞1时，∫0t

admin2021-12-14  50
问题 设f(x)在[0，+∞)上有二阶导数，且f"(x)＜0，f’(0)=0，则下列结论正确的是(          )
①当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＞∫01tf(x)dx
②当0＜t＜1时，∫0tf(x)dx＜∫01tf(x)dx
③当t＞1时，∫0tf(x)dx＞∫01tf(x)dx
④当t＞1时，∫0tf(x)dx＜∫01tf(x)dx
选项 A、①②
B、②③
C、①④
D、②④
答案C
解析 由f"(x)＜0，可知f’(x)单调减少，故f’(x)＜f’(0)=0(x＞0)，令F(t)=∫0tf(x)dx-∫01tf(x)dx，则当0＜t＜1时，F(t)=∫0tf(x)dx-t[∫0tf(x)dx+∫t1f(x)dx]=∫0t(1-t)f(x)dx-t∫t1f(x)dx，故由积分中值定理，可知存在ξ1∈(0，t)，ξ2∈(t，1)，使得∫0t(1-t)f(x)dx=t(1-t)f(ξ1)，∫t1f(x)dx=(1-t)f(ξ2)，故F(t)=t(1-t)f(ξ1)-t(1-t)f(ξ2)=t(1-t)[f(ξ1)-f(ξ2)]，由f(x)单调减少，可知f(ξ1)＞f(ξ2)，故F(t)＞0，所以①正确。当t＞1时，同理，利用积分中值定理，有F(t)=∫0tf(x)dx-∫01tf(x)dx=∫01f(x)dx+∫1tf(x)dx-∫01tf(x)dx=∫01(1-t)f(x)dx+∫0tf(x)dx=(1-t)f(ξ1)+(t-1)f(ξ2)=(1-t)[f(ξ1)-f(ξ2)](0＜ξ1＜1，1＜ξ2＜t)，故F(t)＜0，所以④正确，综上所述，C正确。
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考研数学二

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