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求下列方程的通解或特解: (Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y’(0)=2; (Ⅱ)+2y=e-xcosx.
求下列方程的通解或特解: (Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y’(0)=2; (Ⅱ)+2y=e-xcosx.
admin
2018-06-27
95
问题
求下列方程的通解或特解:
(Ⅰ)
-4y=4x
2
,y(0)=
,y’(0)=2;
(Ⅱ)
+2y=e
-x
cosx.
选项
答案
(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ
2
-4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解y
*
=ax
2
+bx+c,代入方程得2a-4(ax
2
+bx+c)=4x
2
. [*]-4a=4,b=0,2a-4c=0 [*] a=-1,c=[*]. [*]y
*
=-x
2
-[*]. [*]通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-2x
-x
2
-[*]. 由初值 y(0)=C
1
+C
2
-[*],y’(0)=2C
1
-2C
2
=2, [*] 因此得特解 y=[*]e
2x
-[*]e
-2x
-x
2
-[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0,特征根λ
1
=-1,λ
2
=-2.由于非齐次项是e
-x
cosx,-1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解y
*
=e
-x
(acosx+bsinx). 代入原方程比较等式两端e
-x
cosx与e
-x
sinx的系数,可确定出a=[*],所以非齐次方程的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+[*]e
-x
(sinx-cosx),其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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考研数学二
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