2. 考研
  3. 求下列方程的通解或特解： (Ⅰ)-4y=4x2，y(0)=，y’(0)=2； (Ⅱ)+2y=e-xcosx．

求下列方程的通解或特解： (Ⅰ)-4y=4x2，y(0)=，y’(0)=2； (Ⅱ)+2y=e-xcosx．

admin2018-06-27  54
问题 求下列方程的通解或特解：
(Ⅰ)-4y=4x2，y(0)=，y’(0)=2；
(Ⅱ)+2y=e-xcosx．
选项
答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2-4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解y*=ax2+bx+c，代入方程得2a-4(ax2+bx+c)=4x2． [*]-4a=4，b=0，2a-4c=0 [*] a=-1，c=[*]. [*]y*=-x2-[*]. [*]通解为y=C1e2x+C2e-2x-x2-[*]. 由初值 y(0)=C1+C2-[*]，y’(0)=2C1-2C2=2， [*] 因此得特解 y=[*]e2x-[*]e-2x-x2-[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2．由于非齐次项是e-xcosx，-1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*=e-x(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e-xcosx与e-xsinx的系数，可确定出a=[*]，所以非齐次方程的通解为y=C1e-x+C2e-2x+[*]e-x(sinx-cosx)，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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