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设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3.
设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3.
admin
2019-08-01
50
问题
设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3.
选项
答案
由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"’(η)x
3
其中η介于0与x之间,x∈[一1,1] 分别令x=一1和x=1,并结合已知条件得 0=f(一1)=f(0)+[*]f"’(η
1
),一1<η
1
<0 1=f(1)=f(0)+[*]f"’(η
2
), 0<η
2
<1 两式相减可得 f"’(η
1
)+f"’(η
2
)=6 由f"’(x)的连续性,f"’(x)在闭区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 m≤[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]≤M 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](一1,1) 使 f"’(ξ)=[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]=3.
解析
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考研数学二
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