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设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．
设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．
admin
2019-08-01
48
问题
设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．
选项
答案
由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"’(η)x
3
其中η介于0与x之间，x∈[一1，1] 分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得 0=f(一1)=f(0)+[*]f"’(η
1
)，一1＜η
1
＜0 1=f(1)=f(0)+[*]f"’(η
2
)， 0＜η
2
＜1 两式相减可得 f"’(η
1
)+f"’(η
2
)=6 由f"’(x)的连续性，f"’(x)在闭区间[η
1
，η
2
]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η
1
，η
2
][*](一1，1) 使 f"’(ξ)=[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]=3．
解析
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考研数学二
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