设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

admin2019-08-01 50

问题设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"’(η)x³ 其中η介于0与x之间，x∈[一1，1] 分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得 0=f(一1)=f(0)+[*]f"’(η₁)，一1＜η₁＜0 1=f(1)=f(0)+[*]f"’(η₂)， 0＜η₂＜1 两式相减可得 f"’(η₁)+f"’(η₂)=6 由f"’(x)的连续性，f"’(x)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*][f"’(η₁)+f"’(η₂)]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](一1，1) 使 f"’(ξ)=[*][f"’(η₁)+f"’(η₂)]=3．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

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