设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

admin2019-08-01 41

问题设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"’(η)x³ 其中η介于0与x之间，x∈[一1，1] 分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得 0=f(一1)=f(0)+[*]f"’(η₁)，一1＜η₁＜0 1=f(1)=f(0)+[*]f"’(η₂)， 0＜η₂＜1 两式相减可得 f"’(η₁)+f"’(η₂)=6 由f"’(x)的连续性，f"’(x)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*][f"’(η₁)+f"’(η₂)]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](一1，1) 使 f"’(ξ)=[*][f"’(η₁)+f"’(η₂)]=3．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

考研数学二

四元方程组Ax=b的三个解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是______．

设有定义在(-∞，+∞)上的函数：以x=0为第二类间断点的函数是________．

设(x-3sin3x+ax-2+b)=0，试确定常数a，b的值．

设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=_______(n＞2)．

计算下列各题：(Ⅰ)由方程xy=yx确定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1确定y=y(x)，求y’’(x)；(Ⅲ)设2x-tan(x-y)=∫0x-ysec2tdt，求

设有半径为a，面密度为σ的均匀圆板，质量为m的质点位于通过圆板中心O且垂直于圆板的直线上，=b，求圆板对质点的引力．

求曲线r=a(1+cosθ)的曲率．

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为：x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

袁某，男，72岁，医生。自幼受父母熏陶及影响，喜欢用拔罐法治疗疾病。现向其二子传授拔罐知识，并且袁本人与其二子及一怀孕3个月的儿媳一起接受拔罐治疗。

皮肤癌的病理类型不包括

某COPD患者，目前鼻导管吸氧，流量为3L/分钟，估计其吸入氧浓度为

沥青针入度试验属于条件黏度试验，其条件为(　　)。

若x，y为实数，且｜x+2｜+的值为()．

下列关于绿色枫叶变成红色枫叶说法不正确的是：

在VisualFoxPro中，以独占方式打开数据库文件的命令短语是

以下程序的输出结果是inta,b;voidfun(){a=100;b=200;)main(){inta=5,b=7;fun();cout＜＜a＜＜b＜＜endl;}

设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3．

考研数学二

四元方程组Ax=b的三个解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是______．

设有定义在(-∞，+∞)上的函数：以x=0为第二类间断点的函数是________．

设(x-3sin3x+ax-2+b)=0，试确定常数a，b的值．

设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=_______(n＞2)．

计算下列各题：(Ⅰ)由方程xy=yx确定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1确定y=y(x)，求y’’(x)；(Ⅲ)设2x-tan(x-y)=∫0x-ysec2tdt，求

设有半径为a，面密度为σ的均匀圆板，质量为m的质点位于通过圆板中心O且垂直于圆板的直线上，=b，求圆板对质点的引力．

求曲线r=a(1+cosθ)的曲率．

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为：x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

袁某，男，72岁，医生。自幼受父母熏陶及影响，喜欢用拔罐法治疗疾病。现向其二子传授拔罐知识，并且袁本人与其二子及一怀孕3个月的儿媳一起接受拔罐治疗。

皮肤癌的病理类型不包括

某COPD患者，目前鼻导管吸氧，流量为3L/分钟，估计其吸入氧浓度为

沥青针入度试验属于条件黏度试验，其条件为( )。

若x，y为实数，且｜x+2｜+的值为()．

下列关于绿色枫叶变成红色枫叶说法不正确的是：

在VisualFoxPro中，以独占方式打开数据库文件的命令短语是

以下程序的输出结果是inta,b;voidfun(){a=100;b=200;)main(){inta=5,b=7;fun();cout＜＜a＜＜b＜＜endl;}

沥青针入度试验属于条件黏度试验，其条件为(　　)。