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设αi=[ai1,ai2,…，ain]T(i=1，2，…，r；r

admin2019-03-22  30
问题 设αi=[ai1,ai2,…，ain]T(i=1，2，…，r；r1，α2，…，αr线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组
           
的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案解一 因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而[*]由[*]得 α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0． 因而βTα1=βTα2=…=βTαr=0．设 k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0． ① 左乘βT，利用βTαi=0(i=1，2，…，r)得 k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0， 但β≠0，所以βTβ=b1+b2+…+bn>0，于是k=0．代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0．因α1，α2，…，αr线性无关，所以k1=k2=…=kr=0，故α1，α2，…，αr，β线性无关． 解二 用反证法证之．若α1，α2，…，αr，β线性相关，则β=k1α1+k2α2+…+krαr．于是 βTβ=k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学三

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