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考研
设αi=[ai1,ai2,…,ain]T(i=1,2,…,r;r
设αi=[ai1,ai2,…,ain]T(i=1,2,…,r;r
admin
2019-03-22
17
问题
设α
i
=[a
i1
,a
i2
,…,a
in
]
T
(i=1,2,…,r;r
1,α
2
,…,α
r
线性无关.已知β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β的线性相关性.
选项
答案
解一 因β是线性方程组AX=0的解,即Aβ=0,而[*]由[*]得 α
1
T
β=α
2
T
β=…=α
r
T
β=0. 因而β
T
α
1
=β
T
α
2
=…=β
T
α
r
=0.设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+kβ=0. ① 左乘β
T
,利用β
T
α
i
=0(i=1,2,…,r)得 k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+kβ
T
β=kβ
T
β=0, 但β≠0,所以β
T
β=b
1
+b
2
+…+b
n
>0,于是k=0.代入式①得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0.因α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
r
=0,故α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关. 解二 用反证法证之.若α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性相关,则β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
.于是 β
T
β=k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
=0,从而β=0,这与β是非零解向量矛盾,故α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关.
解析
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考研数学三
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