设A、B是n阶矩阵,E一AB可逆,证明:E一BA可逆.

admin2016-03-05  38

问题 设A、B是n阶矩阵,E一AB可逆,证明:E一BA可逆.

选项

答案利用反证法.若|E—BA|=0,则齐次方程组(E—BA)x=0有非零解.假设η是其非零解,则(E—BA)η=0,即BAη=η,且η≠0. (*) 又因为(E—AB)Aη=Aη一(AB)Aη=Aη一A(BAη)=Aη一Aη=0,从(*)式中知,Aη≠0,那么(E—AB)x=0有非零解Aη,这与E—AB可逆相矛盾.

解析
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