设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×m中元素aij的代数余子式(i,j=1，2，…，n)，二次型二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

admin2016-01-11 59

问题设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_n×m中元素a_ij的代数余子式(i,j=1，2，…，n)，二次型

二次型g(x)=x^TAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案因为(A^一1)^TAA^一1=(A^T)^一1E=A^一1，所以A与A^一1合同，于是g(x)=x^TAx与f(x)有相同的规范形．

解析本题主要考查二次型的基本理论．首先求出二次型f(x)的矩阵，并证明该矩阵为A^一1，且为对称矩阵．然后证明矩阵A与A^一1合同．

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