已知数列{x}满足:x0=25,xn=arctanxn—1(n=1,2,3,…),证明{xn}的极限存在,并求其极限.

admin2018-06-14  46

问题 已知数列{x}满足:x0=25,xn=arctanxn—1(n=1,2,3,…),证明{xn}的极限存在,并求其极限.

选项

答案设f(x)=arctanx—x,则f(0)=0, [*] 所以f(x)单调减少,当x>0时f(x)<f(0)=0,即arctanx<x,于是有 xn=arctanxn—1<xn—1. 由此可知,数列{xn}单调递减. 又x0=25,x1=arctan25>0,…,且对每个n,都有xn>0,根据极限存在准则即知[*]xn存在. 设[*]xn=a,在xn=arctanxn两边取极限得a=arctana,所以a=0,即[*]xn=0.

解析
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