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已知数列{x}满足:x0=25,xn=arctanxn—1(n=1,2,3,…),证明{xn}的极限存在,并求其极限.
已知数列{x}满足:x0=25,xn=arctanxn—1(n=1,2,3,…),证明{xn}的极限存在,并求其极限.
admin
2018-06-14
38
问题
已知数列{x}满足:x
0
=25,x
n
=arctanx
n—1
(n=1,2,3,…),证明{x
n
}的极限存在,并求其极限.
选项
答案
设f(x)=arctanx—x,则f(0)=0, [*] 所以f(x)单调减少,当x>0时f(x)<f(0)=0,即arctanx<x,于是有 x
n
=arctanx
n—1
<x
n—1
. 由此可知,数列{x
n
}单调递减. 又x
0
=25,x
1
=arctan25>0,…,且对每个n,都有x
n
>0,根据极限存在准则即知[*]x
n
存在. 设[*]x
n
=a,在x
n
=arctanx
n
两边取极限得a=arctana,所以a=0,即[*]x
n
=0.
解析
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0
考研数学三
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