2. 考研
  3. 设平面图形D由摆线x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)，0≤t≤2π，a＞0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．

设平面图形D由摆线x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)，0≤t≤2π，a＞0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．

admin2018-12-21  71
问题 设平面图形D由摆线x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)，0≤t≤2π，a＞0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．
选项
答案题中所给的D是一个以摆线一拱x＝a(t－sin t)，y＝a(1－cos t)，0≤t≤2π，a>0为上边界，x轴为下边界，从x＝0到x＝2πa的曲边梯形．取竖条，其面积微元为ydx，它对y轴的面积矩为sydx，所以D对y轴的面积矩为∫02πaxydx． (*) 现在按此公式求My． 将摆线表达式代入式(*)，可以看出将积分变量由x换成t，得 My﹦∫02πaxydx﹦∫02πa3(t﹣sin t)(1﹣cos t)2dt ﹦a3∫02πt(1﹣cos t)2dt﹣a3∫02πsin t·(1﹣cos t)2dt [*]a3I1﹣a3I2． 其中I1﹦∫02πt(1﹣cos t)2dt，I2﹦∫02πsin t(1﹣cos t)2dt． 采用一个巧妙的办法计算I1，令t﹦2π﹣u，则 I1﹦∫2π0（2π﹣u）(1﹣cos u）2(﹣du) ﹦∫02π2π(1﹣cos u）2 (du)﹣∫02πu(1﹣cos u）2du， 故2I1﹦∫02π2π(1﹣cos u）2du， I1﹦π∫02π(1﹣cos u）2du﹦4π∫02π[*]du ﹦4π∫02πsin4[*]du[*]8π∫0πsin4θdθ ﹦16π[*]sin4θdθ﹦16π[*]﹦3π2． I2﹦π∫02πsin t(1﹣cos t）2dt＝[*](1﹣cos t）3｜02π＝0， 所以My﹦3a3π2．
解析
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考研数学二

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