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设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My.
设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My.
admin
2018-12-21
73
问题
设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩M
y
.
选项
答案
题中所给的D是一个以摆线一拱x=a(t-sin t),y=a(1-cos t),0≤t≤2π,a>0为上边界,x轴为下边界,从x=0到x=2πa的曲边梯形.取竖条,其面积微元为ydx,它对y轴的面积矩为sydx,所以D对y轴的面积矩为∫
0
2πa
xydx. (*) 现在按此公式求M
y
. 将摆线表达式代入式(*),可以看出将积分变量由x换成t,得 M
y
﹦∫
0
2πa
xydx﹦∫
0
2π
a
3
(t﹣sin t)(1﹣cos t)
2
dt ﹦a
3
∫
0
2π
t(1﹣cos t)
2
dt﹣a
3
∫
0
2π
sin t·(1﹣cos t)
2
dt [*]a
3
I
1
﹣a
3
I
2
. 其中I
1
﹦∫
0
2π
t(1﹣cos t)
2
dt,I
2
﹦∫
0
2π
sin t(1﹣cos t)
2
dt. 采用一个巧妙的办法计算I
1
,令t﹦2π﹣u,则 I
1
﹦∫
2π
0
(2π﹣u)(1﹣cos u)
2
(﹣du) ﹦∫
0
2π
2π(1﹣cos u)
2
(du)﹣∫
0
2π
u(1﹣cos u)
2
du, 故2I
1
﹦∫
0
2π
2π(1﹣cos u)
2
du, I
1
﹦π∫
0
2π
(1﹣cos u)
2
du﹦4π∫
0
2π
[*]du ﹦4π∫
0
2π
sin
4
[*]du[*]8π∫
0
π
sin
4
θdθ ﹦16π[*]sin
4
θdθ﹦16π[*]﹦3π
2
. I
2
﹦π∫
0
2π
sin t(1﹣cos t)
2
dt=[*](1﹣cos t)
3
|
0
2π
=0, 所以M
y
﹦3a
3
π
2
.
解析
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考研数学二
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