[2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.

admin2019-04-08  34

问题 [2004年]  计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.

选项

答案将第二类曲面积分直接化为二重积分计算,用合一投影法求之.已知曲面∑的方程为z=1一x2—y2,它在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2+y2≤1,且z’x=一2x,z’y=一2y.于是 I=[*]{2x3(一z’x)+2y3(一z’y)+3[(1一x2一y2)2一1]}dxdy =[*] 由对称性知,[*] 利用极坐标变换,得到 I=8∫01r5dr·∫0cos4θdθ-6∫0dθr3dr+3∫0dθ∫01r5dr=[*]∫0cos4θdθ—3π+π =[*]

解析
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