[2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．

admin2019-04-08 56

问题 [2004年] 计算曲面积分I=

2x²dydz+2y³dzdx+3(z²—1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x²一y²(z≥0)的上侧．

选项

答案将第二类曲面积分直接化为二重积分计算，用合一投影法求之．已知曲面∑的方程为z=1一x²—y²，它在xOy平面上的投影区域为D_xy：x²+y²≤1，且z’_x=一2x，z’_y=一2y．于是 I=[*]{2x³(一z’_x)+2y³(一z’_y)+3[(1一x²一y²)²一1]}dxdy =[*] 由对称性知，[*] 利用极坐标变换，得到 I=8∫₀¹r⁵dr·∫₀^2πcos⁴θdθ-6∫₀^2πdθr³dr+3∫₀^2πdθ∫₀¹r⁵dr=[*]∫₀^2πcos⁴θdθ—3π+π =[*]

解析

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考研数学一

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