[2009年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2021-01-19 49

问题 [2009年] 设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃—2x₂x₃．
若二次型f(x₁，x₂，x₃)的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案由于f的规范形为y₁²+y₂²，A合同于[*]，故秩(A)=秩[*]=2．因而∣A∣=λ₁λ₂λ₃=0．当λ₁=0即a=0时，λ₂=1，λ₃=一2，此时f的规范形为y₃²一y₂²，不合题意．当λ₂=a+1=0即a=一1时，λ₁=一1，λ₂=一3，此时f的规范形为一y₁²一y₃²，不合题意．当λ₃=a一2=0即a=2时，λ₁=2，λ₂=3，此时f的规范形为y₁²+y₂²，符合题意．综上所述，a=2．

解析

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