设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为f1(x),f2(x),若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),且EX,EX1,EX2均存在,下列4个等式: ①a

admin2021-04-16  33

问题 设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为f1(x),f2(x),若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),且EX,EX1,EX2均存在,下列4个等式:
    ①a+b=1;
    ②f(x)=af1(x)+bf2(x);
    ③EX=aEX1+bEX2
    ④X=aX1+bX2
    其中必成立的个数为(       )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析 由分布函数的性质知F(+∞)=aF1(+∞)+bF2(+∞)=a+b=1,①成立。
X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x),两边求导得f(x)=af1(x)+bf2(x),②成立,由∫-∞+∞xf(x)dx=∫-∞+∞x[af1(x)+bf2(x)]dx=a∫-∞+∞xf1(x)dx+b∫-∞+∞xf2(x)dx,故EX=aEX1+bEX2,③成立。
④不一定成立,反例如下:
若X1~N(0,1),X2~N(0,1)且X1,X2相互独立,当a=b=0.5时,F(x)=0.5F1(x)+0.5F2(x)=0.5φ(x)+0.5φ(x)=φ(x),故X~N(0,1).
而0.5X1+0.5X2~N(0,0.5),X≠0.5X1+0.5X2,故必成立3个等式,选C。
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