2. 考研
  3. 设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为f1(x)，f2(x)，若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，且EX，EX1，EX2均存在，下列4个等式： ①a

设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为f1(x)，f2(x)，若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，且EX，EX1，EX2均存在，下列4个等式： ①a

admin2021-04-16  32
问题 设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为f1(x)，f2(x)，若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，且EX，EX1，EX2均存在，下列4个等式：
    ①a+b=1；
    ②f(x)=af1(x)+bf2(x)；
    ③EX=aEX1+bEX2；
    ④X=aX1+bX2。
    其中必成立的个数为(       )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案C
解析 由分布函数的性质知F(+∞)=aF1(+∞)+bF2(+∞)=a+b=1，①成立。
X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)，两边求导得f(x)=af1(x)+bf2(x)，②成立，由∫-∞+∞xf(x)dx=∫-∞+∞x[af1(x)+bf2(x)]dx=a∫-∞+∞xf1(x)dx+b∫-∞+∞xf2(x)dx，故EX=aEX1+bEX2，③成立。
④不一定成立，反例如下：
若X1～N(0，1)，X2～N(0，1)且X1，X2相互独立，当a=b=0．5时，F(x)=0．5F1(x)+0．5F2(x)=0．5φ(x)+0．5φ(x)=φ(x)，故X～N(0，1)．
而0．5X1+0．5X2～N(0，0．5)，X≠0．5X1+0．5X2，故必成立3个等式，选C。
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考研数学三

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