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设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为f1(x),f2(x),若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),且EX,EX1,EX2均存在,下列4个等式: ①a
设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为f1(x),f2(x),若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),且EX,EX1,EX2均存在,下列4个等式: ①a
admin
2021-04-16
50
问题
设连续型随机变量X
1
,X
2
的分布函数为F
1
(x),F
2
(x),概率密度为f
1
(x),f
2
(x),若随机变量X的分布函数为F(x)=aF
1
(x)+bF
2
(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),且EX,EX
1
,EX
2
均存在,下列4个等式:
①a+b=1;
②f(x)=af
1
(x)+bf
2
(x);
③EX=aEX
1
+bEX
2
;
④X=aX
1
+bX
2
。
其中必成立的个数为( )
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
C
解析
由分布函数的性质知F(+∞)=aF
1
(+∞)+bF
2
(+∞)=a+b=1,①成立。
X的分布函数为F(x)=aF
1
(x)+bF
2
(x),两边求导得f(x)=af
1
(x)+bf
2
(x),②成立,由∫
-∞
+∞
xf(x)dx=∫
-∞
+∞
x[af
1
(x)+bf
2
(x)]dx=a∫
-∞
+∞
xf
1
(x)dx+b∫
-∞
+∞
xf
2
(x)dx,故EX=aEX
1
+bEX
2
,③成立。
④不一定成立,反例如下:
若X
1
~N(0,1),X
2
~N(0,1)且X
1
,X
2
相互独立,当a=b=0.5时,F(x)=0.5F
1
(x)+0.5F
2
(x)=0.5φ(x)+0.5φ(x)=φ(x),故X~N(0,1).
而0.5X
1
+0.5X
2
~N(0,0.5),X≠0.5X
1
+0.5X
2
,故必成立3个等式,选C。
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考研数学三
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