设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：

admin2019-05-11 35

问题设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：

选项

答案[*] 等价于∫₀¹f²(χ)dχ∫₀¹χf(χ)dχ≥∫₀¹f(χ)dχ∫₀¹χf²(χ)dχ，等价于∫₀¹f²(χ)dχ∫₀¹yf(y)dy≥∫₀¹f(χ)dχ∫₀¹yf²(y)dy，或者∫₀¹dχ∫₀¹yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0 令I＝∫₀¹dχ∫₀¹yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy，根据对称性，I＝∫₀¹dχ∫₀¹χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy， 2I＝∫₀¹d(χ)∫₀¹f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy，因为f(χ)＞0且单调减少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以[*]

解析

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