设f(χ)在[0,1]上连续且单调减少,且f(χ)>0.证明:

admin2019-05-11  24

问题 设f(χ)在[0,1]上连续且单调减少,且f(χ)>0.证明:

选项

答案[*] 等价于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ, 等价于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy, 或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)-f(y)]dy≥0 令I=∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)-f(y)]dy, 根据对称性,I=∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)-f(χ)]dy, 2I=∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y-χ)[f(χ)-f(y)]dy, 因为f(χ)>0且单调减少,所以(y-χ)[f(χ)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0, 所以[*]

解析
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