2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：

设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：

admin2019-05-11  34
问题 设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：
选项
答案[*] 等价于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ， 等价于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy， 或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0 令I＝∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy， 根据对称性，I＝∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy， 2I＝∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy， 因为f(χ)＞0且单调减少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0， 所以[*]
解析
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考研数学二

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