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设f(χ)在[0,1]上连续且单调减少,且f(χ)>0.证明:
设f(χ)在[0,1]上连续且单调减少,且f(χ)>0.证明:
admin
2019-05-11
33
问题
设f(χ)在[0,1]上连续且单调减少,且f(χ)>0.证明:
选项
答案
[*] 等价于∫
0
1
f
2
(χ)dχ∫
0
1
χf(χ)dχ≥∫
0
1
f(χ)dχ∫
0
1
χf
2
(χ)dχ, 等价于∫
0
1
f
2
(χ)dχ∫
0
1
yf(y)dy≥∫
0
1
f(χ)dχ∫
0
1
yf
2
(y)dy, 或者∫
0
1
dχ∫
0
1
yf(χ)f(y)[f(χ)-f(y)]dy≥0 令I=∫
0
1
dχ∫
0
1
yf(χ)f(y)[f(χ)-f(y)]dy, 根据对称性,I=∫
0
1
dχ∫
0
1
χf(χ)f(y)[f(y)-f(χ)]dy, 2I=∫
0
1
d(χ)∫
0
1
f(χ)f(y)(y-χ)[f(χ)-f(y)]dy, 因为f(χ)>0且单调减少,所以(y-χ)[f(χ)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0, 所以[*]
解析
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0
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