2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

admin2021-01-25  89
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。
选项
答案(Ⅰ)方法一：假设α1，α2，α3线性相关。因为α1，α2是分别属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，则α3可由α1，α2线性表出，不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零(若l1，l2同时为0，则α3为0，由Aα3=α2+α3可知α2=0，而特征向量都是非零向量，因此矛盾)。 由Aα1=一α1，Aα2=α2，得Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2，又Aα3=A(l1α1+l2α2)=一l1α1+l2α2，则一l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2。 整理得2l1α1+α2=0，则α1，α2线性相关，矛盾。所以，α1，α2，α3线性无关。 方法二：设存在数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aal=一51，Aa 2—52得 一k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0， (2) (1)一(2)得 2k1α1一k3α2=0。 因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=k3=0，代人(1)得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关。 (Ⅱ)记P=(α1，α2，α3)，由(Ⅰ)得P可逆，且 AP=A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1，α2，α2+α3) =(α1，α2，α3)[*] 所以P-1AP=[*]。
解析
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考研数学三

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