首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP。
设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP。
admin
2021-01-25
76
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
。(Ⅰ)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;(Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),求P
-1
AP。
选项
答案
(Ⅰ)方法一:假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关。因为α
1
,α
2
是分别属于不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
线性无关,则α
3
可由α
1
,α
2
线性表出,不妨设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,其中l
1
,l
2
不全为零(若l
1
,l
2
同时为0,则α
3
为0,由Aα
3
=α
2
+α
3
可知α
2
=0,而特征向量都是非零向量,因此矛盾)。 由Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
2
,得Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
,又Aα
3
=A(l
1
α
1
+l
2
α
2
)=一l
1
α
1
+l
2
α
2
,则一l
1
α
1
+l
2
α
2
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
。 整理得2l
1
α
1
+α
2
=0,则α
1
,α
2
线性相关,矛盾。所以,α
1
,α
2
,α
3
线性无关。 方法二:设存在数k
1
,k
2
,k
3
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, (1) 用A左乘(1)的两边并由Aal=一51,Aa 2—52得 一k
1
α
1
+(k
2
+k
3
)α
2
+k
3
α
3
=0, (2) (1)一(2)得 2k
1
α
1
一k
3
α
2
=0。 因为α
1
,α
2
是A的属于不同特征值的特征向量,所以α
1
,α
2
线性无关,从而k
1
=k
3
=0,代人(1)得k
2
α
2
=0,又由于α
2
≠0,所以k
2
=0,故α
1
,α
2
,α
3
线性无关。 (Ⅱ)记P=(α
1
,α
2
,α
3
),由(Ⅰ)得P可逆,且 AP=A(α
1
,α
2
,α
3
)=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(一α
1
,α
2
,α
2
+α
3
) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 所以P
-1
AP=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JAx4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是
下列结论正确的是().
[2012年]设X1,X2,X3,X4为来自总体N(1,σ2)(σ>0)的简单随机样本,则统计量的分布为().
[2001年]设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式P(|X+Y|≥6)≤_________.
[2011年]设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示.将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示.
[2008年]设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3.证明α1,α2,α3线性无关;
[2018年]已知a是常数,且矩阵可经初等列变换化为矩阵求a;
某保险公司对多年来的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数.利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理,求被盗索赔户不少
设总体X的概率分布为其中θ(0<θ<1/2)是未知参数.利用总体的样本值:3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的最大似然估计值.
(99年)设矩阵A=且|A|=-1,又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0,属于λ0的特征向量为α=(-1,-1,1)T.求a,b,c及λ0的值.
随机试题
王禹偁的_______有意效法自居易的平易诗风,其近体诗、绝句则不乏_______的格调,在文的方面,王禹偁既能写古文,又是四六文的高手,王禹偁的文章多有________。
对于二尖瓣狭窄伴主动脉瓣关闭不全,下列哪项不正确()(2000年)
《药品管理法》规定,劣药是指
A.机械性肠梗阻B.单纯性肠梗阻C.麻痹性肠梗阻D.痉挛性肠梗阻E.绞窄性肠梗阻外伤性腹膜后巨大血肿易发生()
依据我国现行法律的规定及相关诉讼理论,关于当事人诉讼权利能力,下列哪一选项是正确的?()(司考.四川.2008.3.48)
房地产居间服务应有如下意识()。
项目结构图是一个重要的组织工具,其反映的是()。
一般会计软件都提供数据备份功能。()
现行《宪法》规定,中央军事委员会主席向()负责。
【2009-3】人力资本理论认为,人力资本是经济增长的关键,教育是形成人力资本的重要力量。这一理论的缺陷是()。
最新回复
(
0
)