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设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。
设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。
admin
2021-01-25
121
问题
设A为三阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
。(Ⅰ)证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；(Ⅱ)令P=(α
1
，α
2
，α
3
)，求P
-1
AP。
选项
答案
(Ⅰ)方法一：假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关。因为α
1
，α
2
是分别属于不同特征值的特征向量，故α
1
，α
2
线性无关，则α
3
可由α
1
，α
2
线性表出，不妨设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
，其中l
1
，l
2
不全为零(若l
1
，l
2
同时为0，则α
3
为0，由Aα
3
=α
2
+α
3
可知α
2
=0，而特征向量都是非零向量，因此矛盾)。 由Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
，得Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
，又Aα
3
=A(l
1
α
1
+l
2
α
2
)=一l
1
α
1
+l
2
α
2
，则一l
1
α
1
+l
2
α
2
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
。 整理得2l
1
α
1
+α
2
=0，则α
1
，α
2
线性相关，矛盾。所以，α
1
，α
2
，α
3
线性无关。 方法二：设存在数k
1
，k
2
，k
3
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aal=一51，Aa 2—52得 一k
1
α
1
+(k
2
+k
3
)α
2
+k
3
α
3
=0， (2) (1)一(2)得 2k
1
α
1
一k
3
α
2
=0。 因为α
1
，α
2
是A的属于不同特征值的特征向量，所以α
1
，α
2
线性无关，从而k
1
=k
3
=0，代人(1)得k
2
α
2
=0，又由于α
2
≠0，所以k
2
=0，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关。 (Ⅱ)记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，由(Ⅰ)得P可逆，且 AP=A(α
1
，α
2
，α
3
)=(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(一α
1
，α
2
，α
2
+α
3
) =(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 所以P
-1
AP=[*]。
解析
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考研数学三
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