设f(x)在[0，1]_k--阶可导，且｜f”(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．

admin2019-11-25 81

问题设f(x)在[0，1]_k--阶可导，且｜f”(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：
｜f’(x)｜≤

(x∈[0，1])．

选项

答案由泰勒公式得 f(0)＝f(x)－f’(x)x＋[*]f”(ξ₁)x²，ξ₁∈(0，x)， f(1)＝f(x)＋f’(x)(1－x)＋[*]f”(ξ₂)(1－x)²，ξ₂∈(x，1)，两式相减，得f’(x)＝[*]f”(ξ₁)x²－[*]f”(ξ₂)(1－x)²．两边取绝对值，再由｜f”(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤[*][x²＋(1－x)²]＝(x－[*])²＋[*]．

解析

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