2. 考研
  3. 求下列方程的通解： (Ⅰ) y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ) xy’=+y．

求下列方程的通解： (Ⅰ) y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ) xy’=+y．

admin2018-11-11  32
问题 求下列方程的通解：
(Ⅰ)  y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；    (Ⅱ)  xy’=+y．
选项
答案(Ⅰ)属于变量可分离的方程．分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx． 两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－[*]=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx， 所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C1，或y=cexsin(lnx)+ax，其中C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为 [*] 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为[*]=lnx+C，其中C为任意常数． 当x＜0时，上面的方程变为[*]，其通解应为[*]=－ln｜x｜+C，其中C为任意常数． 所得通解公式也可统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解a=±1，即y=±x．
解析
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考研数学二

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