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求下列方程的通解: (Ⅰ) y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ) xy’=+y.
求下列方程的通解: (Ⅰ) y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ) xy’=+y.
admin
2018-11-11
72
问题
求下列方程的通解:
(Ⅰ) y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ) xy’=
+y.
选项
答案
(Ⅰ)属于变量可分离的方程.分离变量改写为 [*]=(sinlnx+coslnx+a)dx. 两端求积分,由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-[*]=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx, 所以通解为ln|y|=xsin(lnx)+ax+C
1
,或y=ce
xsin(lnx)+ax
,其中C为任意常数. (Ⅱ)属齐次方程.令y=xu,并且当x>0时,原方程可化为 [*] 两端求积分,则得arcsinu=lnx+C,即其通解为[*]=lnx+C,其中C为任意常数. 当x<0时,上面的方程变为[*],其通解应为[*]=-ln|x|+C,其中C为任意常数. 所得通解公式也可统一为y=|x|sin(ln|x|+C).此处还需注意,在上面作除法过程中丢掉了两个特解a=±1,即y=±x.
解析
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