设f(x，y)=kx2+2kxy+y2在点(0，0)处取得最小值，则k的取值范围为( )．

admin2022-07-21 6

问题设f(x，y)=kx²+2kxy+y²在点(0，0)处取得最小值，则k的取值范围为( )．

选项 A、0＜k≤1
B、k＞0
C、0＜k＜1
D、0≤k≤1

答案C

解析由已知得
f_x(x，y)=2kx+2ky，f_y(x，y)=2kx+2y
f_xx(x，y)=2k，f_yy(x，y)=2，f_xy(x，y)=2k
若AC-B²=4k-4k²＞0，且A=2k＞0，则0＜k＜1；
若AC-B²=4k-4k²=0，则k=0或k=1．当k=0时，f(x，y)=y²在(0，0)非极小值，当k=1时，f(x，y)=(x+y)²，由于f(x，-y)=(x-x)²=0，所以点(0，0)非极小值点．
综上所述，k的取值范围为0＜k＜1．

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考研数学三

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