判断下面定义的变换是否是线性变换: (1)在线性空间V中,Tζ=α,其中α∈V是一固定的向量. (2)在P3中,T(x1,x2,x3)=(2x1一x2,x2+x3,x1). (3)在P(x)中,Tf(x)=f(x+1).

admin2020-09-25  36

问题 判断下面定义的变换是否是线性变换:
  (1)在线性空间V中,Tζ=α,其中α∈V是一固定的向量.
  (2)在P3中,T(x1,x2,x3)=(2x1一x2,x2+x3,x1).
  (3)在P(x)中,Tf(x)=f(x+1).

选项

答案(1)当α=0时,任取ζ1,ζ2∈V,则T(ζ12)=0,T(ζ1)+T(ζ2)=0+0=0, 所以T(ζ12)=Tζ1+Tζ2. 任意k∈R,T(kζ)1=0,kTζ1=k.0=0,所以T(kζ1)=kTζ1. 从而可得当α=0时,Tζ=α是线性变换. 当α≠0时,任取ζ1,ζ2∈V,T(ζ12)=α,Tζ1+Tζ2=α+α=2α,但α≠2α,所以T(ζ12)≠Tζ1+Tζ2,所以当α≠0时,Tζ=α不是线性变换. (2)任取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)∈P3,则 T[(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)]=T(x1+y1,x2+y2,x3+y3) =(2(x1+y1)一(x2+y2),x2+y2+x3+y3,x1+y1) =(2x1—x2+2y1—y2,x2+x3+y2+y3,x1+y1), T(x1,x2,x3)+T(y1,y2,y3)=(2x1-x2,x2+x3,x1)+(2y1一y2,y2+y3,y1) =(2x1—x2+2y1—y2,x2+x3+y2+y3,x1+y1), 所以T[(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)]=T(x1,x2,x3)+T(y1,y2,y3). 任取k∈R,T[k(x1,x2,x3)]=T(kx1,kx2,kx3)=(2kx1一kx2,kx2+kx3,kx1)=k(2x1—x2,x2+x3,x1)=kT(x1,x2,x3),所以T(x1,x2,x3)=(2x1一x2,x2+x3,x1)是线性变换. (3)任取f(x),g(x)∈P(x),则T[f(x)+g(x)]=f(x+1)+g(x+1)=Tf(x)+Tg(x),任取k∈R,T[kf(x)]=kf(x+1)=kTf(x).所以Tf(x)=f(x+1)是线性变换.

解析
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