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  3. 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

admin2015-08-14  54
问题 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是    (    )
选项 A、|A|＞0，则|B|＞0
B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E
C、如果A≌E，则|B|≠0
D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B
答案A
解析 两矩阵等价的充要条件是秩相同．
    当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B-1B=E，可见(B)中命题成立．A≌E的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故|B|≠0，可见(C)中命题也是成立的．
    矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的．
    故唯一可能不成立的是(A)中的命题．事实上，当|A|＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即|B|≠0，不一定有|B|＞0．故选(A)．
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考研数学二

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