已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0 l2：bχ＋2cy＋3a＝0 l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2017-06-26 71

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：aχ＋2by＋3c＝0
l₂：bχ＋2cy＋3a＝0
l₃：cχ＋2ay＋3b＝0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

选项

答案考虑由三直线方程联立所得线性方程组 [*] 则三直线交于一点[*]方程组(*)有惟一解[*]＝2，其中[*] 必要性，由[*]＝3(a＋b＋c)[(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²]＝0，又a、b、c不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)， [*]a＋b＋c＝0．充分性若a＋b＋c＝0，由必要性证明知｜[*]｜＝0，故r([*])＜3．又系数矩阵A中有一个2阶子式 [*] 则方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点．

解析

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考研数学三

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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0 l2：bχ＋2cy＋3a＝0 l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

考研数学三

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