2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0 l2：bχ＋2cy＋3a＝0 l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0 l2：bχ＋2cy＋3a＝0 l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2017-06-26  109
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：aχ＋2by＋3c＝0
    l2：bχ＋2cy＋3a＝0
    l3：cχ＋2ay＋3b＝0
    试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
选项
答案考虑由三直线方程联立所得线性方程组 [*] 则三直线交于一点[*]方程组(*)有惟一解[*]＝2， 其中[*] 必要性，由[*]＝3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝0，又a、b、c不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)， [*]a＋b＋c＝0．充分性 若a＋b＋c＝0， 由必要性证明知｜[*]｜＝0，故r([*])＜3．又系数矩阵A中有一个2阶子式 [*] 则方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点．
解析
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考研数学三

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