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  3. 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求r(A )；

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求r(A )；

admin2018-07-26  48
问题 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．
求r(A )；
选项
答案 法一 (I)由题设条件知 [*] 故r(A)＝1． (Ⅱ)由A的特征多项式 [*] 故A有特征值λ1＝λ2＝…＝λn－1＝0，λn＝[*]． 当λ1＝λ2＝…＝λn－1＝0时，方程组(λE一A)x＝0就是方程组Ax＝0，其同解方程是x1＋2x2＋…＋nxn＝0，解得对应的特征向量为k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－1ξn－1，其中ξ1＝(－2,1,0,…,0)T，ξ2＝(一3，0，1，0，…，0)T，…，ξn－1，＝(一n，0，…，0，1)T，k1，k2，…，kn－1为不全为零的任意常数． 当[*]时，(λnE—A)x＝0，对系数矩阵作初等行变换，得 [*] 方程组的同解方程组为[*] 解得对应的特征向量为knξn，其中ξn＝(1，2，…，n)T，kn为任意的非零常数． 从而知A有n个线性无关的特征向量，A～Λ，取 [*] 法二 (I)由题设条件A＝[*]，A中第i行元素是第1行的i倍，故有 [*] 其中a＝(1，2，…，n)T≠0．故r(A)＝1．
解析
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考研数学一

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