2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

admin2018-01-23  115
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若
Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0．
(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．
选项
答案(1)令x1α1＋x2α2＋…xnαn＝0，则 x1Aα1＋x2Aα2＋…xnAαn＝0[*]x1α2＋x2α3＋…xn－1αn＝0 x1Aα2＋x2Aα3＋…xn－1Aαn＝0[*]x1α3＋x2α4＋…xn－2αn＝0 x1αn＝0 因为αn≠0，所以x1＝0，反推可得x2＝…＝xn＝0，所以α1，α2，…，αn线 性无关． (2)A(α1，α2，…，αn)＝(α1，α2，…，αn)[*]，令P＝α1，α2，…， αn，则P－1AP＝[*]＝B，则A与B相似，由｜λE－B｜＝0[*]λn… ＝λn＝0，即A的特征值全为零，又r(A)＝n－1，所以AX＝0的基础解系只含有一个线 性无关的解向量，而Aαn＝0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．
解析
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考研数学三

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