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  3. [2005年] 已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O．求线性方程组AX=0的通解．

[2005年] 已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O．求线性方程组AX=0的通解．

admin2019-04-08  39
问题 [2005年]  已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O．求线性方程组AX=0的通解．
选项
答案对题设AB=O要有两种思路：一是秩（A）+秩（B）≤n；另一是B的列向量都是AX=0的解向量，据此可得到下列解法． (1)如k≠9，则秩（B）=2，因而由秩（A）+秩（B）≤3得到秩（A）≤1．显然秩（A）≥1，故秩（A）=1，于是AX=0的一个基础解系含n一秩（A）=3—1=2个解向量．由AB=0知α1=[1，2，3]T，α2=[3，6，k]T为AX=0的两个线性无关的解向量，于是其通解为k1α1+k2α2=k1[1，2，3]T+k2[3，6，k]T，k1，k2为任意两个常数． (2)如k=9，则秩（B）=1，于是秩（A）≤3一秩（B）=2．因而秩（A）=1或秩（A）=2． 当秩（A）=1时，则A的第2，3两行均与第1行成比例，故Ax=0的等价方程组为ax1+bx2+cx3=0，不妨设c≠0，则 [*] 其一个基础解系含2个解向量β1=[1，0，一a／c]T，β2=[0，1，一6／c]T．为方便计，不妨取为 β1=[c，0，一a]T，β2=[0，c，一6]T，其通解为l1β1+l2β2，l1，l2为任意常数． 当秩（A）=2时，则AX=0的一个基础解系只含n一秩（A）=3—2=1个解向量．此解向量γ可取B中任意一个列向量，不妨令γ=[1，2，3]T，则其通解为tγ，其中t为任意常数．
解析
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考研数学一

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