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设f(χ)在[-2,2]上具有连续的导数,且f0)=0,F(χ)=∫-χχf(χ+t)dt,证明:级数绝对收敛.
设f(χ)在[-2,2]上具有连续的导数,且f0)=0,F(χ)=∫-χχf(χ+t)dt,证明:级数绝对收敛.
admin
2021-10-02
37
问题
设f(χ)在[-2,2]上具有连续的导数,且f0)=0,F(χ)=∫
-χ
χ
f(χ+t)dt,证明:级数
绝对收敛.
选项
答案
因为 F(χ)=∫
-χ
χ
f(χ+t)dt[*]∫
0
2χ
f(u)du=uf(u)|
0
2χ
-∫
0
2χ
uf′(u)du =2χf(2χ)-∫
0
2χ
uf′(u)du, 则[*]. 由拉格朗日中值定理,得 [*] 又因为f′(χ)在[-2,2]上连续,则f′(χ)在[-2,2]上有界,即存在正数M>0,有 |f′(χ)|≤M,χ∈[-2,2]. 因此 [*] 又因为[*]收敛,则[*]收敛. 所以[*]绝对收敛.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KKx4777K
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考研数学三
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