2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，t]上连续，记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx．求F’(t)．

设函数f(x)在[0，t]上连续，记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx．求F’(t)．

admin2022-07-21  73
问题 设函数f(x)在[0，t]上连续，记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx．求F’(t)．
选项
答案F(t)对应的积分区域为 Ω(t)={(x，y，z)｜0≤x≤y，0≤y≤z，0≤z≤t} 先交换累次积分∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx的次序，因为 σxy={(x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤z}={(x，y)｜0≤x≤z，x≤y≤z} 则交换积分次序，得 F(t)=∫0tdz∫0zf(x)dx∫xz(y-z)2dy=[*]∫0tdz∫0z(z-x)3f(x)dx 再对上式交换积分次序，因σxz={(x，z)｜0≤x≤z，0≤z≤t}={(x，z)｜x≤z≤t，0≤x≤t}，故 F(t)=[*]∫0tdz∫0z(z-x)3f(x)dx=[*]∫0tf(x)dx∫xt(z-x)3dz=[*]∫0t(t-x)4f(x)dx =[*][t4∫0tf(x)dx-4t3∫0txf(x)dx+6t2∫0tx2f(x)dx-4t∫0tx3f(x)dx+∫0tx4f(x)dx] 由变限积分求导公式，得 F’(t)=[*]∫0t(t-x)3f(x)dx
解析
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考研数学三

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