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设函数f(x)在[0,t]上连续,记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx.求F’(t).
设函数f(x)在[0,t]上连续,记F(t)=∫0tdz∫0zdy∫0y(y-z)2f(x)dx.求F’(t).
admin
2022-07-21
55
问题
设函数f(x)在[0,t]上连续,记F(t)=∫
0
t
dz∫
0
z
dy∫
0
y
(y-z)
2
f(x)dx.求F’(t).
选项
答案
F(t)对应的积分区域为 Ω(t)={(x,y,z)|0≤x≤y,0≤y≤z,0≤z≤t} 先交换累次积分∫
0
z
dy∫
0
y
(y-z)
2
f(x)dx的次序,因为 σ
xy
={(x,y)|0≤x≤y,0≤y≤z}={(x,y)|0≤x≤z,x≤y≤z} 则交换积分次序,得 F(t)=∫
0
t
dz∫
0
z
f(x)dx∫
x
z
(y-z)
2
dy=[*]∫
0
t
dz∫
0
z
(z-x)
3
f(x)dx 再对上式交换积分次序,因σ
xz
={(x,z)|0≤x≤z,0≤z≤t}={(x,z)|x≤z≤t,0≤x≤t},故 F(t)=[*]∫
0
t
dz∫
0
z
(z-x)
3
f(x)dx=[*]∫
0
t
f(x)dx∫
x
t
(z-x)
3
dz=[*]∫
0
t
(t-x)
4
f(x)dx =[*][t
4
∫
0
t
f(x)dx-4t
3
∫
0
t
xf(x)dx+6t
2
∫
0
t
x
2
f(x)dx-4t∫
0
t
x
3
f(x)dx+∫
0
t
x
4
f(x)dx] 由变限积分求导公式,得 F’(t)=[*]∫
0
t
(t-x)
3
f(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KRR4777K
0
考研数学三
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