设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

admin2018-08-22 68

问题设y=y(x)是区间(一π，π)内过点

的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

选项

答案当一π2+y²=C，由初始条件[*]得C=π²，所以 [*] 当0≤x<π时，y"+y+x=0的通解为 y=C₁cosx+C₂sinx—x， ② y’=一C₁sinx+C₂cosx一1． ③ 因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知 [*] 代入②，③式，得C₁=π，C₂=1，故y=πcosx+sinx—x，0≤x＜π．综上，知[*]

解析

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