2. 考研
  3. 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．

admin2018-08-22  50
问题 设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．
选项
答案当一π2+y2=C，由初始条件[*]得C=π2，所以 [*] 当0≤x<π时，y"+y+x=0的通解为 y=C1cosx+C2sinx—x， ② y’=一C1sinx+C2cosx一1． ③ 因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知 [*] 代入②，③式，得C1=π，C2=1，故y=πcosx+sinx—x，0≤x＜π． 综上，知[*]
解析
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考研数学二

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