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设f(x)在[a,b]上存在二阶导数.试证明:存在ξ,η∈(a,b),使
设f(x)在[a,b]上存在二阶导数.试证明:存在ξ,η∈(a,b),使
admin
2015-08-14
61
问题
设f(x)在[a,b]上存在二阶导数.试证明:存在ξ,η∈(a,b),使
选项
答案
将∫
a
b
f(t)dt看成变限函数,用泰勒公式,设法消去式中不出现的项即可. (1)令[*] 将φ(x)在x=x
0
处展开成泰勒公式至n=2,有 [*] 因f(x)在[a,b]上存在二阶导数,[*](f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
))介于f"(ξ
1
)与f"(ξ
2
)之间,故知存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
](或ξ∈[ξ
2
,ξ
1
])使[*] 于是知存在ξ∈(a,b)使[*] (2)用常数k值法,令 [*] 有F(a)=0,F(b)=0,所以存在η
1
∈(a,b)使F’(η
1
)=0,即[*] 化简为 f(η
)一f(a)一f’(η
1
)(η
1
一a)一6K(η
1
一a)
2
=0.又由泰勒公式有 f(a)=f(η
1
)+f’(η
1
)(a一η
1
)+[*]f"(η)(a一η
1
)
2
,a<η<η
1
. 由上述两式即可得,存在η∈(a,b)使[*]即(2)成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rS34777K
0
考研数学二
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