设f(x)在[a,b]上存在二阶导数.试证明:存在ξ,η∈(a,b),使

admin2015-08-14  39

问题 设f(x)在[a,b]上存在二阶导数.试证明:存在ξ,η∈(a,b),使

选项

答案将∫abf(t)dt看成变限函数,用泰勒公式,设法消去式中不出现的项即可. (1)令[*] 将φ(x)在x=x0处展开成泰勒公式至n=2,有 [*] 因f(x)在[a,b]上存在二阶导数,[*](f"(ξ1)+f"(ξ2))介于f"(ξ1)与f"(ξ2)之间,故知存在ξ∈[ξ1,ξ2](或ξ∈[ξ2,ξ1])使[*] 于是知存在ξ∈(a,b)使[*] (2)用常数k值法,令 [*] 有F(a)=0,F(b)=0,所以存在η1∈(a,b)使F’(η1)=0,即[*] 化简为 f(η)一f(a)一f’(η1)(η1一a)一6K(η1一a)2=0.又由泰勒公式有 f(a)=f(η1)+f’(η1)(a一η1)+[*]f"(η)(a一η1)2,a<η<η1. 由上述两式即可得,存在η∈(a,b)使[*]即(2)成立.

解析
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