设A为n阶正定矩阵,α1,α2,…,αn为n维非零列向量,且满足αiTA-1αj=0(i≠j;i,j=1,2,…,n).试证:向量组α1,α2,…,αn线性无关.

admin2018-09-25  18

问题 设A为n阶正定矩阵,α1,α2,…,αn为n维非零列向量,且满足αiTA-1αj=0(i≠j;i,j=1,2,…,n).试证:向量组α1,α2,…,αn线性无关.

选项

答案设有数k1,k2,…,kn使得 k1α1+k2α2+…+knαn=0. 在上式两端左边乘αiTA-1,由αiTA-1αj=0(i≠j;i,j=1,2,…,n),可得 kiαiTA-1αj=0(i=1,2,…,n). 因A为正定矩阵,则A-1也为正定矩阵,且αi≠0,故αiTA-1αi>0. 于是 ki=0(i=1,2,…,n).所以向量组α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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