[2005年] 设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分的值恒为同一常数．求函数φ(y)的表达式．

admin2019-04-08 73

问题 [2005年] 设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分

的值恒为同一常数．
求函数φ(y)的表达式．

选项

答案由于P，Q在单连通区域右半平面x＞0上具有一阶连续偏导数，对于x＞0内的任意分段光滑的简单闭曲线C，由上题知∮_CPdx+Qdy=0．而此式成立的充要条件是[*](对任意x＞0)，而 [*] 在x＞0的右半平面上，有[*]，即 -4x²y+2y⁵=2x²φ’(y)+y⁴φ’(y)-4y³φ(y)．两边比较x²与x⁰项(即只含y的项)前的系数得到 [*] 即[*] 解式①得到 φ(y)=一y²+C， ③ 将式①、式③代入式②，有 2y²=-2y²-4(-y²+C)，即 C=0，故 φ(y)=一y²．

解析

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考研数学一

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