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[2005年] 设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分的值恒为同一常数. 求函数φ(y)的表达式.
[2005年] 设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分的值恒为同一常数. 求函数φ(y)的表达式.
admin
2019-04-08
48
问题
[2005年] 设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分
的值恒为同一常数.
求函数φ(y)的表达式.
选项
答案
由于P,Q在单连通区域右半平面x>0上具有一阶连续偏导数,对于x>0内的任意分段光滑的简单闭曲线C,由上题知∮
C
Pdx+Qdy=0.而此式成立的充要条件是[*](对任意x>0),而 [*] 在x>0的右半平面上,有[*],即 -4x
2
y+2y
5
=2x
2
φ’(y)+y
4
φ’(y)-4y
3
φ(y). 两边比较x
2
与x
0
项(即只含y的项)前的系数得到 [*] 即[*] 解式①得到 φ(y)=一y
2
+C, ③ 将式①、式③代入式②,有 2y
2
=-2y
2
-4(-y
2
+C), 即 C=0, 故 φ(y)=一y
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LJ04777K
0
考研数学一
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