设a＜b，证明：不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．

admin2015-08-14 31

问题设a＜b，证明：不等式
[∫_a^bf(x)g(x)dx]²≤∫_a^bf²(x)dx∫_a^bg²(x)dx．

选项

答案构造辅助函数 F(t)=[∫_a^tf(x)g(x)dx]²一∫_a^tf²(x)dx∫_a^tg²(x)dx，则F(a)=0，且 F’(t)=2∫_a^tf(x)g(x)dx.f(t)g(t)-f²(t)∫_a^tg²dx=g²(t)∫_a^tf²(x)dx =∫_a^t[2f(x)g(x)f(t)g(t)一f²(t)g²(x)一g²(t)f²(x)]dx =-∫_a^t[f(t)g(x)一g(t)f(x)]²dx≤0，所以F(b)≤0，即[∫_a^bf(x)g(x)dx]²—∫_a^bf²(x)dx∫_a^bg²(x)dx≤0，即 [∫_a^bf(x)g(x)dx]²≤∫_a^bf²(x)dx∫_a^bg²(x)dx

解析

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