2. 考研
  3. 设a＜b，证明：不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．

设a＜b，证明：不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．

admin2015-08-14  45
问题 设a＜b，证明：不等式
    [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
选项
答案构造辅助函数 F(t)=[∫atf(x)g(x)dx]2一∫atf2(x)dx∫atg2(x)dx， 则F(a)=0，且 F’(t)=2∫atf(x)g(x)dx.f(t)g(t)-f2(t)∫atg2dx=g2(t)∫atf2(x)dx =∫at[2f(x)g(x)f(t)g(t)一f2(t)g2(x)一g2(t)f2(x)]dx =-∫at[f(t)g(x)一g(t)f(x)]2dx≤0， 所以F(b)≤0，即[∫abf(x)g(x)dx]2—∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≤0，即 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
解析
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考研数学二

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