设向量组(Ⅰ)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ

admin2021-02-25 68

问题设向量组(Ⅰ)α₁=(1，0，2)^T，α₂=(1，1，3)^T，α₃=(1，-1，a+2)^T和向量组(Ⅱ)β₁=(1，2，a+3)^T，β₂=(2，1，a+6)^T，β₃=(2，1，a+4)^T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案对(α₁，α₂，α₃┊β₁，β₂，β₃)作初等行变换，得 [*] (1)当a≠-1时，r(α₁，α₂，α₃)=3，线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β_i(i=1，2，3)均有唯一解，所以β₁，β₂，β₃可由向量组(Ⅰ)线性表示．由于行列式 [*] 故对任意a，方程组x₁β₁+x₂β₂+x₃β₃=α_i(i=1，2，3)都有唯一解，即向量组α₁，α₂，α₃能由向量组(Ⅱ)线性表示．因此，当a≠-1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价． (2)当a=-1时，有 [*] 由于秩r(α₁，α₂，α₃)≠r(α₁，α₂，α₃，β₁)，所以线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β₁无解，故β₁不能由α₁，α₂，α₃线性表示．因此，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．

解析本题考查两向量组是否等价与其对应的两组线性方程是否有解的关系．若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)可以互相线性表示．也就是两组线性方程组都有解，若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价，则在两组线性方程组中至少有一个方程无解．

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考研数学二

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设向量组(Ⅰ)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ

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