设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为(1，2．1)T，求a，Q．

admin2017-04-24 61

问题设A=

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第1列为

(1，2．1)^T，求a，Q．

选项

答案由题设，ξ=(1，2，1)^T为A的一个特征向量，于是有Aξ=λ₁ξ，即 [*] 得A的特征值为2，5，一4．对于特征值5，求齐次线性方程组(51一 A)x=0的基础解系，由 [*] 得通解x₁=x₃，x₂=一x₃ (x₃任意)．令x₃=1，得基础解系为(1，一1，1)^T，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为[*](1，一1，1)^T．同理可求得属于特征值一4的一个单位特征向量为[*](一1，0，1)^T． [*] 故Q为所求的正交矩阵．

解析

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