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设y(x)是方程y(4)一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
设y(x)是方程y(4)一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
admin
2019-03-21
64
问题
设y(x)是方程y
(4)
一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
选项
答案
由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y"’(0)x
3
+o(x
3
) (x→0). 当x→0时,y(x)与x
2
同阶,即有y(0)=0,y’(0)=0,y"(0)=0,y"’(0)=C,其中C为非零常数.由这些初值条件,现将方程y
(4)
一y"=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt—∫
0
x
y"(t)dt=0, 即y"’(x)一C—y’(x)=0,两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx. 易知,它有特解y
*
=一Cx,因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
一x
一Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得 C
1
+C
2
=0,C
1
一C
2
=C,即C
1
=[*]. 因此最后得y=[[*](e
x
—e
一x
)一x]C,其中C为任意非零常数.
解析
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考研数学二
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