设A为m×n矩阵,且r(A)==r<n,其中. (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n—r+1个线性无关解; (Ⅱ)若有三个线性无关解,求a,b及方程组的通解.

admin2014-11-26  43

问题 设A为m×n矩阵,且r(A)==r<n,其中
(Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n—r+1个线性无关解;
(Ⅱ)若有三个线性无关解,求a,b及方程组的通解.

选项

答案(Ⅰ)令ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η0为AX=b的特解,显然β00,β110,…,βn-rn-r0为AX=b的一组解,令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0,即 k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r0=0?上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0,因为b≠0时,k0+k1+…+kn-r=0,于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,因为ξ1,ξ2,…,ξn-r为AX=0的基础解系,所以k1=k2=…=kn-r=0,于是k0=0,故β0,β1,…,βn-r线性无关.若γ0,γ1,…,γn-r+1为AX=b的线性无关解,则ξ11一γ0,…,ξn-r+1n-r+1一γ0为AX=0的解,令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0,则k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1一(k1+k2+…+kn-r+10=0.因为γ0,γ1,…,γn-r+1线性无关,所以k1=k2…=kn-r+1=0,即ξ1,ξ2,…,ξn-r+1为AX=0的线性无关解,矛盾,故方程组AX=b恰有n一r+1个线性无关解. (Ⅱ)令[*]化为 AX=β.因为AX=β有三个非零解,所以AX=0有两个非零解,故4一r(A)≥2,r(A)≤2,又因为r(A)≥2,所以r(A)=[*]=2. [*]

解析
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