设D为单位圆x2+y2≤1，I1=（x2+ y3）dxdy，I2=（x4+y4） dxdy，I3=（2x6+y5）dxdy，则（）

admin2019-04-09 32

问题设D为单位圆x²+y²≤1，I₁=

（x²+ y³）dxdy，I₂=

（x⁴+y⁴） dxdy，I₃=

（2x⁶+y⁵）dxdy，则（）

选项 A、I₁＜I₂＜I₃
B、I₃＜I₁＜I₂
C、I₃＜I₂＜I₁
D、I₁＜I₃＜I₂

答案D

解析由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x³是x的奇函数，y³是y的奇函数，则
I₁=

（x³+y³）dxdy=0，

y⁵dxdy=0，
积分区域D关于直线y=x对称，从而由轮换对称性可得
I₃=

x⁶dxdy=

（x⁶+ y⁶）dxdy，
由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x⁶+y⁶≤x⁴+y⁴，则0＜

（x⁶+y⁶）dxdy＜

（x⁴+y⁴）dxdy，从而有I₁＜I₃＜I₂。故选D。

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考研数学三

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