已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2016-01-11 37

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化成标准形；

选项

答案当a=0时，[*] 可知A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=0．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E一A)x=0，得A的属于λ₁=λ₂=2的线性无关的特征向量为ξ₁=(1，1，0)^T，ξ₂=(0，0，1)^T．对于A，=0，解齐次线性方程组(-A)x=0，得A的属于A=0的线性无关的特征向量为ξ₃=(一1，1，0)^T．易见ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，只需单位化，得[*] 则Q为正交矩阵．在正交变换x=Qy下，二次型的标准形为f=2y₁²+2y₂²．

解析

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