已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2016-01-11 40

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化成标准形；

选项

答案当a=0时，[*] 可知A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=0．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E一A)x=0，得A的属于λ₁=λ₂=2的线性无关的特征向量为ξ₁=(1，1，0)^T，ξ₂=(0，0，1)^T．对于A，=0，解齐次线性方程组(-A)x=0，得A的属于A=0的线性无关的特征向量为ξ₃=(一1，1，0)^T．易见ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，只需单位化，得[*] 则Q为正交矩阵．在正交变换x=Qy下，二次型的标准形为f=2y₁²+2y₂²．

解析

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考研数学二

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设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值．对应特征向量为(-1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．
设a1=(a1，a2,a3)T，a2=(b1，b2，b3)T，a3=(c1，c2，c3)T则三条直线a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0相交于一点的充分必要条件是()．
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设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．求A的特征值和特征向量；
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