已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

admin2016-01-11  26

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.
求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;

选项

答案当a=0时,[*] 可知A的特征值为λ12=2,λ3=0. 对于λ12=2,解齐次线性方程组(2E一A)x=0,得A的属于λ12=2的线性无关的特征向量为ξ1=(1,1,0)T,ξ2=(0,0,1)T. 对于A,=0,解齐次线性方程组(-A)x=0,得A的属于A=0的线性无关的特征向量为ξ3=(一1,1,0)T. 易见ξ1,ξ2,ξ3两两正交,只需单位化,得[*] 则Q为正交矩阵.在正交变换x=Qy下,二次型的标准形为f=2y12+2y22

解析
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