设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，且an≠0，若Aa1＝a2，Aa2＝a3，…，Aan－1＝an，Aan＝0．证明：a1，a2，…，an线性无关；

admin2020-03-10 58

问题设A是n阶矩阵，a₁，a₂，…，a_n是n维列向量，且a_n≠0，若Aa₁＝a₂，Aa₂＝a₃，…，Aa_n－1＝a_n，Aa_n＝0．
证明：a₁，a₂，…，a_n线性无关；

选项

答案令x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0，则 x₁Aa₁＋x₂Aa₂＋…＋x_nAa_n＝0[*]x₁a₂＋x₂a₃＋…＋x_n－1a_n＝0，x₁Aa₂＋x₂Aa₃＋…＋x_n－1Aa_n＝0[*]x₁a₃＋x₂a₄＋…＋x_n－2a_n＝0， [*] x₁a_n＝0，因为a_n≠0，所以x₁＝0，反推可得x₂＝…＝x_n＝0，所以a₁，a₂，…，a_n线性无关．

解析

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考研数学三

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