设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )

admin2016-04-11 75

问题设X₁和X₂是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f₁(x)和f₂(x)，分布函数分别为F₁(x)和F₂(x)，则( )

选项 A、f₁(x)+f₂(x)必为某一随机变量的概率密度
B、f₁(x)．f₂(x)必为某一随机变量的概率密度
C、F₁(x)+F₂(x)必为某一随机变量的分布函数
D、F₁(x)．F₂(x)必为某一随机变量的分布函数

答案D

解析由已知，∫_-∞^+∞f₁(x)dx=∫_-∞^+∞f₂(x)dx=1，故
∫_-∞^+∞[f₁(x)+f₂(x)]dx=∫_-∞^+∞f₁(x)dx+∫_-∞^+∞f₂(x)dx=2≠1，
所以不选(A)，若设f₁(x)=f₂(x)=

则

即∫_-∞^+∞f₁(x)f₂(x)dx有可能非1，故不选(B)．
又由分布函数的性质和F₁(+∞)=F₂(+∞)=1，故

[F₁(x)+F₂(x)]=2，故不选(C)。
若令g(x)=F₂(x)．F₂(x)，由F₁(-∞)=F₂(-∞)=0、F₁(+∞)=F₂(+∞)=1，可得g(-∞)=0，g(+∞)=1；又由F₁(x)和F₂(x)均非降，可得g(x)非降(设x₁＜x₂，由0≤F₁(x₁)≤F₁(x₂)，0≤F₂(x₁)≤F₂(x₂)，可得g(x₂)≤g(x₂))；再由F₁(x)和F₂(x)右连续(本题由于X₁和X₂为连续型随机变量，所以F₁(x)和F₂(x)是连续的)，可见g(x)也是右连续的(本题中g(x)是连续的)，故证得g(x)=F₁(x)．F₂(x)是分布函数，故选(D)。

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考研数学一

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